Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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Es sei jetzt x irgendein von a¡ ¡ i.,...i,. , & tl ¡,. ... i k und allen Punktenaí 1 « I ...i/tt A+ j verschiedener Punkt von S it bzw. von allen Verzweigungs-

punkten der Kurve C 0 verschiedener Punkt dieser letzten Kurve. Wirnehmen einen den Punkt x enthaltenden Teilbogen x'x" von S¡ ¡ ¡,, ...bzw. G 0 und sorgen dabei nur dafür, daß x und x" in keinen Punkta» 1 » 2 ...t A »A +J fallen und daß ô (A*£...»>)< e ist 38 ) (wobei e eine beliebigefeste positive Zahl ist).

Indem man

a x = A,r¿u - (»'+«") d * =- (*'+®")

setzt, erhält man die e- Aussonderung des Punktes a;:

C = A x + (x' + x") + D x .

Also ist ind^ G = 2, falls x von allen Punkten a¡ ¡ ik , b¡ ¡ ,- 2 ... i(t ., 6,-, ...,und von allen (endlich vielen!) Verzweigungspunkten der Kurve C 0 ver-schieden ist. In analoger Weise würde man beweisen, daß jeder Punkt6,-, ...i k ein Endpunkt ist.

58. An die Mengen ÜT,^ und schließen sich in natürlicher

Weise folgende Mengen an. Es sei ein ^... ljt beliebig gegeben. Wir be-trachten alle diejenigen ¿ ; ... , j k , die einen Durchmesser ^ e haben undfür die außerdem = a,ist. Auf jedem dieser (notwendig

endlich vielen) K il ^,..j k (es seien K m r e ) wählen wir einenPunkt x m unter der Bedingung, daß

«„«= H- «(.<,...<*/»„ ( wie auch h+ 1 gewählt sei!)

und

S ( A a<) ''=■■■ ® m ) < e

sei. (Der Bogen .,i k x m gehört selbstverständlich zu $ 4i .. .¿™).

Wir nehmen endlich einen den Punkt x i¡ i ¿ /t enthaltenden Bogen

a;' x" <= S í ^ ú .. der so beschaffen ist, daß erstens a;' und a;" von allenA verschieden sind und zweitens der Durchmesser der Menge

, ,, ÍC'

. A.® * • . y r f - • . i

a — iu Z j ^t x to ... i/,-_ i , Jk ^

íc ' x"

(wobei ik Z auf alle diejenigen G ¡ l i t ...i k _ Il j k erstreckt ist, für die

in x'x" enthalten, jedoch von verschieden ist) kleiner als e ist.

Wir definieren jetzt

»V , „

A f . . y A a *'j H '••ik X M -1- . A?

m=l

36 ) Falls a ;c= (7 0 , sollen die Bedingungen der Fußnote 34 ) erfüllt sein.