Reguläre Baumkurven.

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(Pi'Pz) Polygone angeheftet worden sind, kann P i als einfaches Polygondieser Art bestimmt werden. Die Zuordnung von Polygonen zu den etwaigenübrigen B i bietet keine Schwierigkeiten mehr. Auf jedem der bereits vor-handenen Polygone P t können Punkte angegeben werden, die zu den Be-grenzungspunkten des entsprechenden Kontinuums B¿ isomorph liegen. Injedem solchen Begrenzungspunkt eines ist an ein System von ge-wissen B■ angeheftet; zu diesem System kann ein isologes System vonPolygonen konstruiert und an den entsprechenden Punkt von P { angeheftetwerden. Damit ist der Hilfssatz für n = 2 bewiesen.

n

Ist n > 2, dann ist S — 2 (b¡, 6,.) ein gewöhnlicher Baum, d. h. S läßt

i,Jc=1

sich darstellen als Summe endlich vieler Bögen G 1 , C 2 , ..., C m , die zu jezweien höchstens Endpunkte miteinander gemein haben und deren End-punkte mit singulären Punkten von S übereinstimmen. Diesen Bögen ent-

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sprechen gewisse Teilbögen C[,Gí,...,Gm von 2J(Pi, p k ). Tilgt man

i,h= i

beide Endpunkte von C { , so zerfällt B; die abgeschlossene Hülle der-jenigen Komponente, welche C { enthält, nennen wir B¿. B ist Summe der

solcherart entstehenden Kontinua B 1 , _B.,, ..., B m und endlich vieler Rest-

m

kontinua B m+1 ,...,B , deren jedes mit B i bloß einen Punkt gemein

i=i

hat, der entweder zu den n ausgezeichneten Punkten b 1 , b.,, ..b n von Bgehört oder mehreren von den B t gemein ist. Indem man nun die inPolygone einschließt, deren Innenbereiche in (P) liegen und zu je zweienfremd sind, und die mit jedem B i höchstens die zwei Endpunkte von C {gemein haben, und indem man ferner Polygone P { (i > m), welche denB i (i > m) entsprechen, in geeigneter Weise anheftet, erhält man einzu den Kontinua B 1 , ..., B m , ..B p isologes System von Polygonen, vondenen jedes mit den übrigen höchstens zwei Punkte gemein hat. Und aufjedes dieser Kontinua B t und dieser Polygone P { kann die für n — 2 durch-geführte Konstruktion des Hilfssatzes angewendet werden, wodurch auchdie Fälle n > 2 erledigt sind.

Sei nun ein Baum B vorgelegt. Wir definieren durch Induktion einUmgebungssystem von B und ein isologes System von Polygonen. Zunächstzerlegen wir B in endlich viele Kontinua B x , B^, ..., B n < e < 1, die zuje zweien höchstens einen Punkt gemein haben, und lassen ihnen ein iso-loges System P ± , P„, ..., P n von Polygonen < e entsprechen. Wir nehmensodann an, es seien bereits definiert die Kontinua < und

das entsprechende System von Polygonen < e" -1 Dann zerlegen

wir jede der Mengen Bin endlich viele Kontinua -ß»,< e n ,die zu je zweien höchstens einen Punkt gemein haben und so, daß ihnenin P ío • -• in —i ein isologes System von Polygonen P ilÍ2 . < e n entspricht.