Über konvexe Flächen und einschließende Kugeln.

Von

N. Kritikos in Athen.

Herr T. Bonnesen hat in seiner Arbeit über das isoperimetrischeDefizit ebener Figuren, Math. Annalen 91, S. 257, den Satz bewiesen:

Jedes Oval O kann in einen von zwei konzentrischen Kreisen C und cbegrenzten Kreisring in der Weise einbeschrieben werden, daß es zwischenden Kreisen liegt, jedoch mit jedem Kreis zumindest zwei Punkte gemeinhat und zwar so, daß es auf G ein Punktpaar gibt, welches auj O voneinem Punktpaar auf c getrennt ist. Für ein vorgelegtes Oval ist derKreisring eindeutig bestimmt.

Von diesem Satz wollen wir im folgenden einen Beweis geben, dervor demjenigen von Herrn Bonnesen den Vorzug hat, weitere Eigenschaftendes Kreisrings hervortreten zu lassen und eine Verallgemeinerung auf denRaum zu gestatten. Wir führen den Beweis für den verallgemeinertenSatz im Raum; in der Ebene gelten vollständig entsprechende Schlüsse.

1. Es sei K ein konvexer Körper (das ist eine beschränkte, abge-schlossene, nicht-ebene Punktmenge, die mit zwei Punkten auch die Punkteihrer Verbindungsstrecke enthält), F sei die Begrenzung. Ist M ein Punktvon K, so gibt es eine kleinste Kugel C (M) mit M als Mittelpunkt undeinem Radius R (M), die K enthält, und eine größte c (M) mit demselbenMittelpunkt und einem Radius r(M), die in K enthalten ist und sichauf einen Punkt reduziert, wenn M auf F liegt.

Die Differenz D (M) = R (M) — r (M) ist eine nicht-negative, stetigeFunktion von M in K. Nach einem Satz von Weierstraß erreicht siealso darin ihr Minimum, das offenbar dann und nur dann gleich Null ist,wenn K eine Kugel ist. Wir werden zeigen, daß es nur eine Minimum-stelle gibt und daß der zugehörige Kugelring durch geometrische Be-dingungen festgelegt werden kann, die eine Verallgemeinerung derjenigendes zitierten Satzes sind.