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N. Kritikos.

2. Wir behaupten zunächst folgendes:

Ein Punkt M von F ist keine Minimumstelle.

Man lege nämlich eine Stützebene des Körpers durch M derart, daßihre Normale MN ins Innere von K dringt. Sei N ein innerer Punktvon K, und es sei a der Radius einer Kugel mit N als Mittelpunkt, dieganz in K liegt. Für die Punkte M 1 der Strecke MN gilt

rW^^-MM,.

Andererseits haben wir, unter A einen Schnittpunkt der Stützebene mitder Oberfläche von C(M) verstanden,

R{M 1 )^M 1 A.

Nun ist R (M) — M X A = MA — M 1 A unendlich klein von der 2. Ordnungin MM 1 . Also gilt für M 1 hinreichend nahe bei M:

D (M x ) < R (M) = D {M), w. z. b. w.

3. Wir beschränken uns jetzt auf Punkte M im Innern von K. Esist klar, daß sowohl C(M) als auch c(M) mindestens einen Punkt mit Fgemeinsam haben. Die Punkte, weichet und C(M ) oder c(M) gemein-sam sind, wollen wir äußere bzw. innere Berührungspunkte des Kugel-rings nennen. Sie besitzen folgende Eigenschaft: Die Tangentialebene andie betreffende Kugel in einem Berührungspunkt ist eine Stützebenevon K.

Das ist für die äußeren Berührungspunkte evident. Für die innerenwird es so bewiesen: Sei I ein innerer Berührungspunkt, E die Tangential-ebene an c{M) in I. Gäbe es Punkte von K auch auf der Seite von E ,die von c(M) frei ist, z. B. den Punkt P, so wäre PI, als Sekante vonc(M), im Innern des Tangentenkegels an c(M) durch P enthalten, welcher,von P bis zum Berührungskreis, ein Teil von K ist. Demnach wäre Iein innerer Punkt von K, was einen Widerspruch ergibt.

4. Aus der letzten Eigenschaft folgt u. a., daß die Projektionen a deräußeren Berührungspunkte von denjenigen i der inneren auf eine mit demKugelring konzentrische Kugel, vom Zentrum aus, verschieden sind. Wirbehaupten jetzt folgendes:

Kann man die Punkte a von den Punkten i durch eine Ebene trennen,d. Ti. eine Ebene finden, die keinen dieser Punkte enthält und welche diea auf der einen, die i auf der anderen Seite läßt, so ist M keine Mini-mumstelle.

Beweis. Da die Trennung entweder für alle konzentrischen Kugelnzugleich oder für keine möglich ist, gilt unsere Voraussetzung auch für