Konvexe Flächen und einschließende Kugeln.

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c(M) und G (M) als Projektionskugeln (Fig. 1). Seien e und E zwei zu-gehörige parallele Trennungsebenen, die c(M ) bzw. G(M) in zwei bezüg-lich M ähnlich gelegenen Kreisen schneiden. Dieäußeren Berührungspunkte bilden eine abgeschlossenePunktmenge, also kann man zwischen sie und Eeine weitere parallele Trennungsebene einschalten,die C(M) in einem Kreise AB schneidet. Ebensoschalte man zwischen die inneren Berührungspunkteund e eine parallele Trennungsebene, die c(M) ineinem Kreise CD schneidet.

Betrachten wir noch die Normale zu diesenEbenen durch M und nennen wir S ihren Schnitt- Fig ' 1 '

punkt mit C(M ) auf der Seite der i relativ zu E, T denjenigen in it c ( M)auf der Seite der a relativ zu e. Die abgeschlossene Kugelkalotte A8Bliegt ganz im Äußeren, die abgeschlossene Kugelkalotte G TD dagegen ganzim Innern von K. Wenn wir also auf der Strecke MT Punkte M 1 hin-reichend nahe bei M nehmen, so werden die Kugeln, die M x als Mittel-punkt und den Radius M X A haben, K enthalten, während die Kugelnmit demselben Mittelpunkt und dem Radius M 1 G in K liegen werden.Folglich ist

D £ M X A - M X C.

Da aber bis auf höhere Potenzen des unendlich kleinen M M i

/\

R (M) = MA — M x A-\- MM 1 cos TMA + ...,r(M) = MC — M 1 C + MM 1 cos TMG + ...

ist, haben wir

D (M x ) <: MA - MG - MM, (cos TMA — cos TMG) -f ... .

Also gilt, wegen

/\ /\

TMA < TMG <7i,

für M j hinreichend nahe bei M

D (M t ) < MA - MG = D (M),was unsere Behauptung beweist.

5. Aus dem Vorhergehenden folgt, daß der oder die Kugelringe, fürdie D ( M) ihr Minimum in K erreicht, solche äußeren und inneren Berüh-rungspunkte aufweisen, daß ihre respektiven Projektionen auf eine kon-zentrische Kugel, vom Zentrum aus, durch keine Ebene getrennt werdenkönnen; insbesondere also gibt es mindestens zwei Berührungspunktejeder Art.

Mathematische Annalen. 96. 38