586 N. KritikoB. Konvexe Flächen und einschließende Kugeln.

Wir werden jetzt nach Herrn Bonnesen zeigen, daß es nur einenKugelring geben kann mit äußeren und inneren Berührungspunkten, derenrespektive Projektionen sich nicht trennen lassen.

Beweis. Nehmen wir an, es gäbe zwei solche Kugelringe mit denMittelpunkten M x und M„ (Fig. 2). C{M 1 ) und C ( M. 2 ) haben dann einenBereich gemein, der K enthält, und weil sie beide Fmindestens zweimal berühren, müssen sie einanderin einem Kreise PQ schneiden. Die zwei Kugel-kalotten von C(M 1 ) und C(M 2 ), die den Bereichg begrenzen, seien ß i und genannt.

Die inneren Kugeln c{M 1 ) und c( M„ ) habenebenfalls zumindest zwei Punkte mit F gemein, alsokönnen sie nicht ineinander liegen und haben einenäußeren gemeinsamen Tangentenkegel. Zwei Ka-lotten b 1 und von c(M 1 ) und c{M i ) umgrenzenzusammen mit dem berührenden Mantelstück desKegels einen konvexen Teil von K.

Nun muß F auf den Kugelkalotten B x und ö 1 Punkte haben, derenrespektive Projektionen auf c^M^, von aus, keine Trennung gestatten.Dafür ist notwendig, daß die Raumwinkel M 1 (B 1 ) und M 1 (b 1 ) einen ge-meinsamen Strahl haben, daß also M X P innerhalb M t ( b t ) oder auf dessenBegrenzung liegt. Entsprechend darf M.,P nicht außerhalb des Raum-winkels M. 2 (b. 2 ) liegen. Das ist aber unmöglich, denn die Raumwinkel M 1 (b x )und M„ (b 2 ) haben ersichtlich keinen gemeinsamen Punkt.

Es gibt also nur einen Kugelring, bei welchem die äußeren und in-neren Berührungspunkte Projektionen haben, die keine Trennung gestatten.Diese negative Bedingung kann nun leicht durch Betrachtung der kon-vexen Hüllen der gleichartigen Projektionen in eine äquivalente positiveumgewandelt werden, und so bekommen wir schließlich den Satz:

Jede Begrenzung eines konvexen Körpers kann in einen aus zweikonzentrischen Kugeln bestehenden Kugelring in der Weise eingeschlosseniverden, daß sie mit jeder der zivei Kugeln zumindest zwei oder drei Be-rührungspunkte hat, deren respektive Projektionen auf eine konzentrischeKugel, vom Zentrum aus, zwei Strecken oder Dreiecke mit gemeinsamemPunkt bilden. Für eine vorgelegte Begrenzung ist der Kugelring eindeutigbestimmt und besitzt die kleinste Dicke unter allen Kugelringen aus kon-zentrischen Kugeln, in icelche die Begrenzung eingeschlossen werden kann.

(Eingegangen am 1. 11. 1925.)