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T. Radó.

Es werde nun daran erinnert, daß bereits der von Herrn S. Bernsteinherangezogene einfache Konvergenzsatz über die Schmiegebene, wenn mandenselben vollkommen streng beweisen will, zu ganz hübschen analytischenBetrachtungen Anlaß gibt; H.A.Schwarz und T. J. Stieltjes haben diesenBetrachtungen je eine kleine Arbeit gewidmet 3 ). Sie haben gleichzeitigauf Verallgemeinerungen hingewiesen; beispielsweise kann man statt derdreiparametrigen Familie aller Ebenen die vierparametrige Familie allerKugeln ins Auge fassen.

Will man nun diese Sätze auf allgemeinere algebraische Flächen-familien verallgemeinern, so werden die Dinge wesentlich komplizierter.Die Tatsache, daß eine Kurve und eine Ebene eine n-punktige Berührunghaben, wird bekanntlich durch das Bestehen gewisser rein analytischerBeziehungen zwischen den Bestimmungsstücken der Kurve und der Ebeneausgedrückt. Bei den in Rede stehenden Sätzen handelt es sich nundarum, das Bestehen dieser analytischen Relationen aus dem Umständezu erschließen, daß die betrachtete Ebene durch gewisse algebraischeFlächen approximiert werden kann, welche mit der Kurve je n getrenntePunkte gemein haben, wobei diese n Punkte gegen den betrachtetenKurvenpunkt konvergieren. Eine einfache Betrachtung lehrt aber, daßdie Möglichkeit eines derartigen Schlusses wesentlich von der besonderenStruktur der herangezogenen Flächen abhängt, indem nämlich die frag-lichen geometrischen Konvergenzsätze im allgemeinen überhaupt nicht mehrgültig bleiben.

Demnach erscheint es notwendig, die jeweilige Gültigkeit der frag-lichen Sätze durch eine Diskussion der verwendeten Flächenfamilien sicher-zustellen; auf eine derartige Diskussion geht Herr Müntz gar nicht ein.Ich habe nun die von Herrn Müntz herangezogenen Flächenfamilienetwas genauer betrachtet und zunächst gefunden, daß diejenigen Eigen-schaften dieser Familien, die durch Herrn Müntz im Laufe seiner Dar-stellung in Betracht gezogen werden, weder für die Gültigkeit der geome-trischen Konvergenzsätze noch für die Gültigkeit der aus denselben ge-zogenen Schlüsse hinreichend sind. Eine weitere einfache Betrachtungließ dann solche Besonderheiten dieser Flächenfamilien erkennen, die ansich geeignet sein könnten, die Gültigkeit der geometrischen Konvergenz-sätze in Frage zu stellen. Und so gelangte ich zur Ansicht, die ich imfolgenden begründen möchte, daß durch das Stillschweigen, welches HerrMüntz über diese Sätze beobachtet hatte, eine wesentliche Lücke in seinemExistenzbeweise entstanden ist.

3 ) H. A. Schwarz, Abhandlungen 2, S. 296—302; T. J. Stieltjes, Oeuvres 2, S. 110—123. Von Lehrbüchern vgl. W. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie1. 5 4.