Plateausches Problem.

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1. Herr Müntz betrachtet eine einfache geschlossene Raumkurve Kund setzt voraus, daß dieselbe analytisch ist, eine einfache konvexexy- Projektion hat und keine vertikale Schmiegebene besitzt. Dann führter, in Verallgemeinerung eines S. Bernsteinschen Verfahrens, eine gewissefünfparametrige algebraische Flächenfamilie ein; wir wollen die Parametermit x, Â 1 , À 2 , Â s , und die entsprechende Fläche mit S(x, A 1} / 2 , /1 3 , /l 4 )bezeichnen. Die Flächenfamilie weist dann die Besonderheit auf, daß fürx = 0 die Fläche S(x, X s , / 4 ) in eine Vertikal ebene ausartet.

Für die Zwecke von Herrn Müntz ist nun der folgende „ Satz überden Parameter x" von entscheidender Bedeutung.

Satz über den Parameter x. Es werde die Gesamtheit derjenigenFl äche n S (x, X 1 , , À s , A 4 ), die mit der vorgelegten Raumkurve fünf ge-trennte Punkte gemein haben, ins Auge gefaßt ■und mit 2 bezeichnet.Dann bleibt für diese Flächen der absolute Betrag des Parameters x ober-halb einer positiven Schranke.

Der Deutlichkeit wegen möchte ich hier schildern, wie man diesenSatz auf gewisse geometrische Konvergenzsätze reduziert. Für x — 0 artetdie Fläche S (x, Â 2 , À s , Â 4 ) nach Voraussetzung in eine Vertikalebeneaus; da die Kurve K eine konvexe xy- Projektion hat, so kann diese Ver-tikalebene keine fünf getrennten Punkte mit der Kurve gemein haben. Fürkeine Fläche von 2 kann also \x\ gleich Null sein; es wird aber darüberhinaus behauptet, daß | x | auch nicht beliebig klein werden kann. ZumBeweise wird im Gegensatz zur Behauptung angenommen, daß aus 2 eineFlächenfolge S 1 , $ 2 , ..., S n , ... ausgewählt werden kann, für welche \x\gegen Null geht 4 ). Die Fläche S n hat mit der Kurve K fünf getrenntePunte P{ n) , ..., P¿ n) gemein; ohne Beschränkung der Allgemeinheit kannman annehmen, daß jeder dieser fünf Punkte einer Grenzlage zustrebt.Seien P 1 , P 2 , ..., P 5 diese Grenzpunkte, Da beim Grenzübergange dieFlächenfolge S n , wegen x->-0, in eine gewisse Vertikalebene E* ausartet,so liegen diese Punkte augenscheinlich auf E*. Da nun die Vertikalebene E*mit der Kurve K, infolge der konvexen xy- Projektion dieser Kurve, nichtmehr als zwei getrennte Punkte gemein haben kann, so müssen entweder allefünf Punkte zusammenfallen, oder aber es muß zwei getrennte Punkte Aund B auf der Kurve K geben, so daß gewisse mit A, gewisse mit Bzusammenfallen.

Es gibt also gewiß einen Punkt auf der Kurve, wir wollen diesenPunkt mit P Q bezeichnen, so daß beim Grenzübergange von den fünfSchnittpunkten P[ n \ PÍ n) , ..., P$ l) wenigstens drei gegen P 0 konvergieren.Da aber, wegen X—+0, die Flächen S n in eine durch den Punkt P 0

4 ) Vgl. hierzu Nr. 6, a) der vorliegenden Note.