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T. Radó.

gehende Vertikalebene E* ausarten, so müßte diese Vertikalebene mit derKurve K im Punkte P 0 eine wenigstens dreipunktige Berührung haben.Dies widerspricht aber der Voraussetzung, daß die Kurve K keine verti-kale Schmiegebene besitzt, und damit ist die Annahme, daß der Para-meter 3i für die Flächen von 2 beliebig kleine Werte annehmen könnte,ad absurdum geführt 5 ).

2. Den springenden Punkt dieses indirekten Beweises bildet, wie mansieht, ein recht allgemeiner geometrischer Konvergenzsatz ; wir wollen einenbesonderen Fall desselben genau formulieren.

Spezieller geometrischer Konvergenzsatz. Auf der Kurve Kwird ein fester Punkt P 0 vorgegeben. In der Nähe von P 0 luerden auf Kfünf getrennte Punkte angenommen, und durch diese fünf Punkte wirdeine Fläche der oben erwähnten fünfparametrigen Flächenfamilie gelegt.Es wird noch vorausgesetzt: läßt man die fünf Punkte gegen den festenPunkt P 0 konvergieren, so artet die entsprechende Fläche in eine durch P 0gehende Vertikalebene E* aus.

Dann wird behauptet, daß die Grenzebene E* mit der Kurve K imPunkte P 0 eine fünfpunktige Berührung hat.

Es werde aber ausdrücklich darauf hingewiesen, daß für die Zweckevon Herrn Müntz noch allgemeinere Sätze erforderlich sind. Währendbei diesem speziellen Satze, kurz gesagt, mit Hilfe einer fünfparametrigenFamilie eine fünfpunktige Berührung zu erweisen ist, handelt es sich beiden allgemeineren Sätzen darum, mit Hilfe einer n-parametrigen Familieeine k -punktige Berührung festzustellen, wobei n— h, 7, 9 und k im all-gemeinen kleiner als n ist.

Ob der Umstand k < n wesentlich ist, kann erst beim Beweise er-kannt werden. Eine eingehende Besprechung dieser Sätze wäre aber auchaus folgendem Grunde notwendig. Uber die Randkurve K wurde insbe-sondere vorausgesetzt, daß sie analytisch ist. Diese Voraussetzung istaber nicht notwendig, wie Herr Müntz gelegentlich bemerkt; es genügt,wenn die Kurve hinreichend oft derivierbar ist. Wenn man die in Nr. 1dieser Note geschilderte Überlegung durchgeht, so erkennt man, daß diehöhere Derivierbarkeit der Kurve explizite gar nicht verwendet wird; dieRegularitätseigenschaften der Kurve würden eben erst beim Beweise dergeometrischen Konvergenzsätze eingreifen. Erst beim Beweise dieser Sätzewürde man also über den wichtigen Punkt Aufschluß erhalten, welcheRegularitätseigenschaften der Kurve K für die Schlüsse von Herrn Müntznotwendig sind.

5 ) Siehe M, S. 72 unten und S. 75 Mitte.