Plateausches Problem.

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3. Ich will nun meine Ansicht begründen, daß die fraglichen geome-trischen Konvergenzsätze einen sorgfältigen Beweis erfordern; um aber mitabstrakten Erörterungen keine Zeit zu verlieren, betrachte ich zunächstein Beispiel, welches den Sachverhalt beleuchten soll.

In der xy- Ebene sei die algebraische Kurvenschar

(1) (y — 1 + x)(y — 1 + 2x)(y — 1 + 3x) + XÂ 1 A 2 ¿3 (x- + y 2 ) = 0

vorgelegt. Sei 0 < x < |; dann kann man, wie wir zeigen wollen, fürdie übrigen Parameter solche von Null verschiedene Werte einsetzen, daßdie entsprechende Kurve mit dem Einheitskreise x 2 + y 2 — 1 sechs ge-trennte Punkte gemein hat. In der Tat, setzen wir » a + y 2 = 1 in (1),so erhalten wir für y eine Gleichung dritten Grades; wenn wir nochK = ¿3 = ¿ 4 = 1 wählen, so lautet diese Gleichung

(y i + y ')(y — i + 2«)(y — i Sx) X 1 x = o .

Für À 1 = 0 hat man die drei verschiedenen Wurzeln 1 — x, 1 — 2x,1 — 3x; wenn l x hinreichend klein, aber von Null verschieden gewähltwird, so wird man ebenfalls drei getrennte Wurzeln haben, die wenig von1 — x j 1 — 2x, 1 — 3x abweichen. Wir können und wollen also A, =(= 0so wählen, daß die Gleichung drei getrennte Wurzeln r¡', r¡", ?/"' hat, diezwischen 1 und 1 — 4* liegen; wegen 0 < x < | haben wir dann

(2) 0<1 -ix <i}',t¡",i¡" , < 1.

Aus x' 2 + 2/ 3 = 1 erhalten wir die Abszissen der Schnittpunkte mit demEinheitskreise. Es gibt also sechs getrennte Schnittpunkte; zwei habendie Ordinate rj', zwei die Ordinate r\" und zwei die Ordinate r¡'". Danun nur 0 < x < i vorausgesetzt wurde, so können wir diesen Prozeß füreine gegen Null konvergierende Folge x w , x l2 >, ..., x <n> , ... wiederholen,und erhalten eine Folge von Kurven, y a) ,y (2> , ..., y in) , ..., die mit demEinheitskreise je sechs getrennte Schnittpunkte haben; wie aus (2) er-sichtlich, konvergieren diese sechs Schnittpunkte gegen den Punkt (0,1)des Einheitskreises.

Wir gehen nun zu drei Dimensionen über und bezeichnen mitS (x, A 1} A a , A 3 , A4) diejenige Zylinderfläche mit vertikalen Erzeugenden,welche die Leitkurve (1) hat; wir können die Gleichung dieser Flächen-familie in der Form schreiben

(3) y - 1 -Ly= *«(»* + y î)__

und wollen die Gleichung der Familie gerade in dieser Form verwenden.Mit K bezeichnen wir den Einheitskreis der xy- Ebene; dann sind dieMüntzschen Voraussetzungen über K gewiß erfüllt.