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T. Radó.

Setzen wir in (3) für « den Wert Null ein, so ergibt sich y — 1 = 0;für * = 0 artet also die Fläche S(x, l x , A g , A 4 ) in eine Vertikalebeneaus. Bezeichnen wir mit S lf &¡, ..S n ,... diejenigen Zylinderflächenunserer Familie, welche die oben erklärten Kurven yW, y (2> , .. ...

zu Leitkurven haben, so hat S sechs getrennte Punkte mit dem Einheits-

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kreise K gemein, und der zugehörige Parameterwert yJ n) konvergiert dabeigegen Null. Alle die Momente, auf welche sich Herr Müntz beim Beweisedes Satzes über den Parameter v. beruft, sind also vorhanden, der Satzselbst gilt aber nicht.

Aus diesem Sachverhalte ersehen wir bereits, daß für die Gültigkeitdes Satzes über den Parameter *. gerade solche Momente entscheidend seinmüssen, die Herr Müntz gar nicht in Betracht gezogen hatte.

4. Wenden wir die in Nr. 1 geschilderte indirekte Schlußweise aufunser Beispiel an, so bleiben wir erst bei den geometrischen Konvergenz-sätzen stecken; diesen Punkt wollen wir nun genauer ins Auge fassen.

Sind wieder S 1} S 2 , ..S n , ... die in Nr. 3 eingeführten Zylinder-flächen, so hat S n sechs, also um so mehr fünf getrennte Punkte mit demEinheitskreise gemein. Beim Grenzübergange konvergieren diese Schnitt-punkte gegen denselben Punkt (0, 1) des Einheitskreises, und die Flächeartet dabei in die Vertikalebene y — 1 = 0 aus. Alle Voraussetzungendes speziellen geometrischen Konvergenzsatzes sind also erfüllt, es istaber ganz klar, daß die Grenzebene y — 1 = 0 mit dem Einheitskreisekeine fünfpunktige Berührung hat — der geometrische Konvergenzsatz istalso nicht erfüllt.

Dieses negative Ergebnis wird wohl niemanden überraschen. Ganztrivial sind nämlich die folgenden Feststellungen.

Feststellung I. Für den speziellen geometrischen Konvergenzsatzgenügt es nicht, wenn die Flächen beim Grenzübergange irgendwie in eineEbene ausarten. Das wesentliche ist, in welcher Weise diese Ausartungerfolgt.

Feststellung II. Insbesondere muß unbedingt verlangt werden, daßdie Ausartung die hinreichend glatte Konvergenz gegen die Grenzebeneinvolviert; beispielsweise muß in der Umgebung des Punktes P 0 auch dieNormalenrichtung der Flächen gleichmäßig gegen die Normalenrichtungder Grenzebene konvergieren (was aber an sich natürlich nicht hinreicht).

Die Ausartung in unserem Beispiel bedeutet hingegen weiter nichtsals eine willkürliche Festsetzung ; man erkennt dies am besten, wenn mandie Gleichung der Flächenfamilie in ganzer rationaler Form zugrunde legt,also Gleichung (1) verwendet. Setzt man in Gleichung (1) für k denWert Null ein, so ergibt sich (y — 1 ) 3 = 0, also die dreifach zu zählende