Plateausches Problem.
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Ebene y — 1 — 0. Dreifach gezählt, liefert diese Ebene tatsächlich sechszusammenfallende Schnittpunkte mit dem Einheitskreise, der spezielle geo-metrische Konvergenzsatz ist also eigentlich auch jetzt richtig, nur mußderselbe richtig, nämlich algebraisch, interpretiert werden. Dann aberdrückt derselbe eine Trivialität aus und stellt keinen Widerspruch mitder differentialgeometrischen Tatsache dar, daß der Einheitskreis keinevertikale Schmiegebene besitzt.
Feststellung III. Wenn für x = 0 die Fläche 8 (x, Â lt A a , A g , ¿ 4 )in eine mehrfach zu zählende Vertikalebene ausartet, so artet der speziellegeometrische Konvergenzsatz im allgemeinen in eine Trivialität aus, undder Satz über den Parameter x verliert im allgemeinen seine Gültigkeit.
5. Mit diesen Erfahrungen wenden wir uns nun den von Herrn Müntzverwendeten Flächen zu. Mit SDL werde die Minimalfläche
3 ( , U a „\
X = X a yu-\- - g — UV J ,(4) y = 2 X s uv,
3 [ . V a 0 \
z = x yv -\— g U V j
bezeichnet, die in der durch Herrn Müntz betrachteten fünfparametrigenFamilie enthalten ist 6 ). Wir führen mit Herrn Müntz neue Variablenu*,v* durch xu=u*, xv = v* ein, wodurch (4) übergeht in
-i» * 3
X = x' 2 U* 4 g u* V * 2 ,
y = 2xu* V*,z — x 2 V* + V* u* 2 .
O
Setzen wir hier x — 0, so ergibt sich y = 0, z^O; dieser Sach-
verhalt wird durch Herrn Müntz durch die Aussage charakterisiert, daßdie Fläche 50 l x für x = 0 in die Vertikalebene y = 0 ausartet 7 ). In ana-logem Sinne ist die Ausartung beim Satze über den Parameter x und beimgeometrischen Konvergenzsatze zu verstehen.
Mit Rücksicht auf Feststellung II wollen wir nun zusehen, wie dieAusartung der Fläche in die Ebene y = 0 in der Umgebung desPunktes (0, 0, 0) aussieht. Der Punkt (0, 0, 0) liegt auf und ent-spricht dem Wertsystem u = 0, v = 0. Aus (4) erhält man, daß für
d(x z)
u = 0 , v = 0 die Funktionaldeterminante „ v , ' - von Null verschieden ist.
d(u,v) '
in der Umgebung des Punktes (0, 0, 0) kann also die Fläche in der
°) M, S. 71, Formel 17*.'J M, S. 72 unten.