594

T. Radó.

Form y — analytische Funktion von x und z dargestellt werden, dieserPunkt ist also, in differentialgeometrischer Beziehung, ein absolut regulärerFlächenpunkt. Außerdem wird dort die Fläche gerade durch die Grenz-ebene y — 0 berührt. Wir setzen nun in (4)

u = 1, V — 0

und erhalten einen Punkt von 9J?*, der mit P y _ bezeichnet werden möge.Dieser Punkt P H hat die Koordinaten (| y, 3 , 0, 0), konvergiert also füry.—- 0 gegen (0, 0, 0). Man stellt fest, daß im Punkte P y _ die Fläche 9JLeine horizontale Berührungsebene hat. Wird also eine beliebig kleine Um-gebung des Punktes (0, 0, 0) betrachtet, so liegt dort, wenn y. hinreichendklein ist, sowohl ein Punkt von 9}?,, mit vertikaler, wie auch ein Punktmit horizontaler Tangentialebene, nämlich (0, 0, 0) bzw. P x . In derUmgebung des Punktes (0, 0, 0) ist also die Konvergenz der Fläche 50ï xgegen die Grenzebene y = 0 nicht glatt. Die Ausartung im MüntzschenSinne involviert also die glatte Konvergenz gegen die Grenzebene nicht.

Mit Rücksicht auf Feststellung III wollen wir noch über die alge-braische Gleichung der Fläche ÛDZ* eine Bemerkung einschalten. Bekanntlichist diese Fläche von der neunten 8 ) Ordnung. Drücken wir aus der zweitenGleichung (4) v durch u aus und gehen wir damit in die erste und dritteGleichung ein, so erhalten wir zwei Gleichungen vierten Grades für u.Wenn wir die Resultante gleich Null setzen, so ergibt sich eine Gleichungzwischen x, y und z, die aber noch höheren als neunten Grades ist; durcheinfache, aber etwas weitläufige Rechnungen erhalten wir dann, nach Ab-spaltung leicht erkennbarer fremder Faktoren, eine Gleichung mit demrichtigen Grade 9 und mit folgenden Eigenschaften.

A. Die Gleichung hat die Form

(5) y 9 -\-Q(x,y,z,x) = 0,

wobei Q ein Polynom, mit rein numerischen Koeffizienten, von x, y, z, y.bedeutet, welches in bezug auf x, y, z vom achten Grade ist.

B. Das Polynom Q verschwindet für * == 0 identisch.

Mit Rücksicht darauf, daß die Fläche von neunter Ordnung ist,stellt also (5) die Gleichung der Fläche in ganzer rationaler Form dar.Setzen wir in dieser Gleichung y. = 0, so erhalten wir nach B:

y* = 0 .

Für x = 0 artet hiernach die Fläche 9DÎ,, in die neunfach zu zählendeVertikalebene y — 0 aus.

8 ) Vgl. Darboux, Théorie générale des surfaces, í, p. 217 und p. 369.