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Ch. H. Müntz.

II.

1. In einem inneren Punkte 0 eines regulären Minimalflächenstiickes 0ist nach vollzogener Drehung zu p = 0 (M § 9) der Parameter co reellund überdies, zugleich mit co~ 1 , gleichmäßig beschränkt 3 ). Entsprechendder Zweideutigkeit der Gaußschen Abbildung durch parallele Normalenist co ebenfalls zweideutig, ebenso allgemeiner (ohne Drehung zu p = 0)die Weierstraßschen Parameter

i • — 2 +J 1+P 2 + ? 2 — <7 + 11 + + <7 2

W = U + I V = — . * , U— '

■pi ' 1 + P 2

[.M(14)]., wobei hier \w\, |w _1 ¡, \u\, \u~ í \, v gleichmäßig beschränktsind; die Punkte mit u = 0 bilden auf den benutzten Hilfsflächen Í> H " ansich eine vertikale Gerade [Z- Achse), für die Berührung aber kommennur zwei getrennte endliche Stücke von Ö>* in Frage, wobei auf dem einenstets u > 0, auf dem andern stets u < 0 ist und die Wahl des Vorzeichensuns freisteht.

2. Für jede Oskulationsfläche sind die reellen Parameter x, und x = tgyiin endlichvieldeutiger Weise bestimmt aus ii(16)—(16); man kann dabeinach Belieben und unabhängig voneinander über die Vorzeichen von cosip,sin y» und * verfügen (das Vorzeichen von y. entscheidet übrigens überden somit wählbaren Sinn der Schraubung von <P* um die Z- Achse). Fürr 2 -)-« 2 — >co hätte man x. —>- 0 in allen Fällen zu gewärtigen; es genügtdaher, den erwünschten Widerspruch bei einer einzigen passenden Wahlaufzuzeigen.

3. Setzt man in O an $ eine zugehörige ( I>* etwa mit u > 0, sobesi tzt die (analytische) Schnittkurve S auf 0 mindestens sechs von Oäquiangular ausgehende reelle Halbzweige, von denen höchstens nur einerdie Z-Achse treffen kann, während auf allen anderen, auch beim jeweili-gen (sicher existenten) Schnitt mit der Randkurve K stets u > 0 bleibt 3 );<P* selbst ist durch je fünf Punkte auf K in endlich vieldeutiger Weisebestimmt. Jede durch O gehende analytische Kurve S* auf <J> wird dortvon 0* mindestens von der zweiten Ordnung berührt; es gelten daher inO nicht nur die Gleichungen M (17*), sondern auch diejenigen, die darausdurch zweimalige Differentiation nach der Bogenlänge s* von S* ent-stehen.

") In ii 4 wird gerade der Punkt (0, 0, 0), mit co = 0, herangezogen, der fürdie zu betrachtenden Berührungen nicht in Frage kommt.

3 ) Nur so ist M, S. 71, Z. 8—5 v. u. überhaupt erst zu verstehen; sonst liefertschon z = z a geschlossene Kurvenstücke.