Zum Plateauschen Problem.

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4. Die betrachteten Minimal Aachens triche 0 entspringen jeweiligengefundenen Lösungen mit einer Randkurve K(s), die aus if(l) durchAbflachung der Randwerte z*(fi) = ez*(l) entsteht (M, Sätze G — H derEinleitung); auf den heute allein gangbaren Wegen ist dabei auch für diez- Ableitungen der ersten zwei Ordnungen die Stetigkeit auch nach demRande hin gesichert, und es handelt sich nachträglich nur um gleichmäßigeAbschätzung derselben; >-0 besagt, daß diese Möglichkeit für e—+t abesteht, wenn 0* —»P* ist, wobei 0'"' die xy-Projektion eines innerenPunktes O bedeutet.

Nach dem Vorhergehenden genügt es zu zeigen, daß wenigstens füreine Möglichkeit der Vorzeichenwahl eine von 0 verschiedene untere Schrankefür \x\ entsteht, wenn man für K(e 0 ) neben M (17*) die daraus durchzweimalige Differentiation nach der Bogenlänge s = s(e) entstehendenGleichungen hinzunimmt, wozu dann noch diejenigen des Durchgangs durchdrei weitere Punkte von K(e 0 ) hinzukommen, wobei für die zugehörigenu das gleiche Vorzeichen wie bei P 0 verlangt werden darf.

Wenn nun neben P 0 für *. —>- 0 ein zweiter Grenzpunkt Q q 4? P 0 ent-stehen könnte, so läßt sich jetzt die Wahl des Vorzeichens von cosy sotreffen, daß P* Q* die Richtung der positiven x- Achse für <P* erhält,über der die Vorzeichen von u in der Grenze derart verfügbar sind, daßnur einmal u > 0, zweimal aber u < 0 entsteht (für « > 0), oder um-gekehrt: denn die Substitution M S. 72, Z. 12 v. u. zeigt, daß für x = 0die Grenzebene im Reellen dreifach (nicht neunfach' 4 )), im Positiven aberdie zu betrachtende offene Halbebene sogar nur einfach ist; nach Q 0 wirddaher höchstens nur einer der fünf betrachteten Schnittpunkte gehen, nachP 0 mindestens vier, von denen drei bereits als regulär zusammenfallendvorausgesetzt worden sind (vgl. o.).

Die derart in P 0 entstehenden Gleichungen ergeben (nach einer ele-mentaren Durchrechnung) für pí — >-0 die Bedingungen:

(X' + V Y') (Z' + !if)-i-0 (Asymptotenlinien);v(X' + vJ'Y + u(z' + u y') 3 —* 0,wegen der Beschränktheit auch von | u\ _1 also auf alle Fälle

z' + uy' = 0 5 );

Wenn aber hier nicht von vornherein y' = z' — 0 ist, so würde sich nun

4 ) Ebenso wie etwa für y" = x, x — y. y , z —* 0, der entstehende Punkt im Reellennur dreifach zu gelten hat.

5 ) Es darf nicht wundernehmen, daß bei einer Frage über höhere Berührungschon die ersten Ableitungen entscheiden: so hat z. B. auch ein vertikales Bogen-element eine vertikale Schmiegebene zur Folge.