Koeffizientenabschätzungen bei ebenen und räumlichenharmonischen Entwicklungen.

Von

G. Szegö in Königsberg.

Eine im Einheitskreise ce 3 + y" < 1 reguläre harmonische Funktionu[x,y) läßt sich bekanntlich daselbst in eine nach Kreisfunktionen fort-schreitende Reihe

(k) u(x,y) = k Q (x,y) + k 1 (x,y) + k i (x,y) + ... +Jc m {x,y)+ .. .

entwickeln; hierbei ist k m (x,y) ein homogenes harmonisches Polynomm -ten Grades, das in Polarkoordinaten r,cp (x — rcoscp, y = 7-sin cp)geschrieben die besonders einfache Gestalt

(1) rm fm{v) — r m (a m cosm(p + b m smm<p)

besitzt, wo a m und b m Konstanten sind.

Eine in der Einheitskugel x 2 -f- y 2 -\- z 2 < 1 reguläre harmonischeFunktion U(x, y, z ) läßt sich bekanntlich daselbst in eine nach Kugel-funktionen fortschreitende Reihe

CR- U(x,y,z) = K 0 (x,y,z) + K 1 (x,y,z) + K 2 (x,y,z) + ...

+ K m ( x >y>z)+ ■■■

entwickeln; hierbei ist K m (x,y,z ) ein homogenes harmonisches Polynomm -ten Grades, das in Polarkoordinaten r, Q, <p (x = r sin 0 cos cp,y = r sin0 sin cp, z = r cos0) geschrieben die Gestalt

r m F m (ß,cp)

(l') , m V

= r m [a m P m { cos0) -f 21 (a mv cosv<p + 6 mv sin v(p)P' m (cos0))

* V = 1 '■

besitzt, wo a m , a mr , b mr Konstanten sind und P m (£) das to - te LegendreschePolynom, Pm{£) die sogenannten zugeordneten Funktionen bezeichnen, d.h.

(2) (cos 0) = sin' ö Pm ( COS0).

Mathematische Annalen. 96. 39