602 G- Szegö.

In beiden Fällen kann die fragliche harmonische Funktion im Innernihres Definitionsbereiches durch das sogenannte Poissonsche Integral dar-gestellt werden. Es ist für r < 1

u (reos cp, r sin cp )

2 7t

— V" lim Í u (p cos cp, psin w) -— s — rr—

¿¡i 1 J vtr T ^ ' 1 — 2rcos(y — <p) + r- 7 '

o

U(r sin 0 cos cp, r sin 0 sin cp, r cos 0)

= -¡— lim U(g sin(ícos <p, £>sin0sin¡p, p cosí)'

4» jJJ

(3')

l ~ r " A

da,

(1—2 r cos y + »" 2 ) T

wobei y die sphärische Distanz der Punkte mit den Polarkoordinaten(1,0, <p) bzw. (1,0,9?) bezeichnet und da = sin 0 dO dy das Flächen-element der Einheitskugel E ist. Mit Beachtung der Entwicklungen

(4) f (r , cp ) = 1 _ 2 l + r2 - 1 + 2 r cos cp + 2 r '- cos 2 cp + ...,

S(f,y) = — ' — ,

(4') (1 — 2 »* cos y + r 3 ) T

= P 0 (cos y) + 3r P l (cos y) + 5r 2 P 2 (cos /)+...

erhält man also für das allgemeine Glied von (k) bzw. (K):

in

^ r -j ^m( r C0S( P> r sin 95) = r m ^ lim J* u [ q cos (p, gsin cp) cos m(q — cp)dy

( f Q 1 , € j • ■ • 2 ) ,

K m (r sin0 cos 99, r sin0 sin cp, r cos0)

(5') ■ 4

„ 2 m

Y VI

1 lim [/(£>sin0cos </>, £>sin0sin cp, g cosÖ) P m (cos y) dan 0-+1 ¿J

E

(cosy = COS0 COS0 + sin0 sin0 cos(<p — cp)).

Die Analogie dieser beiden Entwicklungen springt sofort in die Augeil.Sie weiter zu verfolgen, bildet das Ziel der vorliegenden Arbeit. Hinsicht-lich der Entwicklung (k) sind wegen ihrer Beziehung zur Theorie deranalytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen zahlreiche Eigen-schaften bekannt. Besonders eingehend sind sie bei einer im Einheits-kreise regulären positiven harmonischen Funktion u(x,y) untersucht