Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 603

worden 1 ). Demgegenüber scheinen ähnliche Fragen bezüglich der zu einerräumlichen harmonischen Funktion U(x,y,z ) gehörenden Entwicklung ( K )bisher nur geringe Beachtung gefunden zu haben 2 ).

Wir wollen uns hier in erster Linie mit denjenigen Fragen beschäf-tigen, welche sich auf den Zusammenhang zwischen dem Wertevorrat dergegebenen Funktion und den Eigenschaften der einzelnen Glieder ihrerEntwicklung (k) bzw. (K) beziehen.

In dieser Richtung ist eine Bemerkung von G. Pick zu erwähnen 3 ),die einer bekannten Eigenschaft von ebenen harmonischen Funktionengegenüberzustellen ist. Diese Eigenschaft spielt in der CarathéodoryschenTheorie der positiven harmonischen Funktionen zweier Veränderlichen 4 )eine Rolle und kann folgendermaßen formuliert werden:

I. Es sei u(x,y) regulär harmonisch und positiv für x~ -j- y" < 1;in ihrer Entiuicklung (k) nach Kreisfunktionen sei ferner

/)= 1 ■

Dann ist für x^-^y^^l

(6) I k i (x,y)\< t 2.

Für die Funktion

u(x,y)- l(r,<p-<p 0 ) = 1 _ 2r vó) + rí

tritt hier bei r = 1, <p = <p 0 (mod7i) das Gleichheitszeichen ein, so daß dieKonstante 2 durch keine kleinere ersetzt werden kann.

Nun kann die erwähnte Picksche Bemerkung wie folgt ausgesprochenwerden :

*) Vgl. insbesondere C. Carathéodory, Über den Variabilitätsbereich der Koeffi-zienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen [Mathematische Annalen64 (1907), S. 95 — 115]; 0. Toeplitz, Über die Fouriersche Entwicklung positiverFunktionen [Rendiconti del Circolo Matemático di Palermo 32 (1911), S. 191 — 192];C. Carathéodory, Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von posi-tiven harmonischen Funktionen [Rendiconti del Circolo Matemático di Palermo 32(1911), S. 193-217],

2 ) Eine Ausnahme dürfte die Untersuchung der Entwicklung (K) auf der Kugel-oberfläche, d. h. die Theorie der Laplaceschen Reihe bilden, welche — entsprechendder Theorie der Fourierschen Reihe — bereits eine große Literatur besitzt. Vgl. dieZusammenstellung bei L. Fejér, Über die Summabilität der Laplaceschen Reihe durcharithmetische Mittel [Mathematische Zeitschrift 24 ( 1925), S. 267 — 284], Fußnote *) u. 2 ).

3 ) G. Pick, Ein Abschätzungssatz für positive Newtonsche Potentiale [Jahres-bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 23 (1915), S. 329—332]; Über posi-tive harmonische Funktionen [Mathematische Zeitschrift 1 (1918), S. 44—51].

4 ) Vgl. die zweite, unter *) zitierte Abhandlung von C. Carathéodory.

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