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G. Szegö.

II. Essei U (x, y, z) regulär harmonisch und positiv für x"-\- y- + z a < 1;in ihrer Entwicklung (K) nach Kugelfunktionen sei ferner

Ä'o (x,y,z) = 1.

Dann ist für x a "-\- y" z* <L 1(6') \K 1 (x,y,z)\ <¡3.

Für die Funktion

1 — r~

U(x, y,z)= ®(r;y) = ;1 ,

(1 — 2r cos y + r 2 ) 3

wo cos y = cos 0 cos0 o + sinö sinö 0 cos (<p — cp 0 ) ist, tritt hier bei r= 1,y = 0 oder n das Gleichheitszeichen ein, so daß die Konstante 3 durchkeine kleinere ersetzt werden kann.

Diese Aufgaben bilden bloß Spezialfälle von gewissen allgemeineren,bei denen eine vorgeschriebene lineare Kombination der m ersten Gliederder fraglichen Entwicklung für die Gesamtheit der in dem Einheitskreisbzw. in der Einheitskugel regulären positiven harmonischen Funktionen,deren Entwicklung mit 1 beginnt 6 ), abgeschätzt wird. In den §§ 1, 2der vorliegenden Arbeit wird diese Aufgabe allgemein behandelt. DieGültigkeit des Gleichheitszeichens erfordert eine etwas genauere Unter-suchung. Es tritt nur bei gewissen sehr speziellen Funktionen ein, dieman aus den Funktionen (4) bzw. (4') auf einfache Weise aufbauen kann.

Der auf ebene harmonische Funktionen bezügliche Teil dieses Ergeb-nisses ist durch einen früheren Satz von Herrn I. Schur bekannt 0 ). SeineMethode beruht auf gewissen Sätzen der von ihm stammenden Theoriebeschränkter Potenzreihen 7 ), scheint also einer Übertragung auf den Raumkaum fähig zu sein. Außerdem wären aber noch andere Wege zu diesemSatze denkbar. Man könnte z. B. die Carathéodorysche Theorie heranziehen 8 )oder sich auf einen Satz von F. Riesz 9 ) über die Darstellbarkeit einer

6 ) Diese Bedingung kann auch so aufgefaßt werden, daß der Mittelwert unsererFunktion auf den Kreislinien bzw. Kugelflächen um den Nullpunkt gleich 1 ist, oderauch so, daß die Funktion im Nullpunkt gleich 1 ist.

") I. Schur, Über die Koeffizientensummen einer Potenzreihe mit positivemreellen Teil [Archiv der Mathematik und Physik (3) 27 (1918), S. 126 — 135], s. insb.Satz III.

') I. Schur, Uber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränktsind [Journal für Mathematik 147 (1917), S. 205-232; 148 (1918), S. 122-145],

8 ) Vgl. eine Andeutung bei I. Schur, a. a. 0. 6 ), S. 134.

°) F. Riesz, Sur certains systèmes singuliers d'équations intégrales [Annales del'École Normale Supérieure (3) 28 (1911), S. 33 — 62], vgl. S. 58 — 61. — Ein andererBeweis findet sich bei G. Herglotz, Über Potenzreihen mit positivem reellen Teil imEinheitskreis [Leipziger Berichte 63 (1911), S. 501—511], § 3.