Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 605
positiven harmonischen Funktion als Stieltjes-Integral stützen. Keines vondiesen beiden Hilfsmitteln ist bisher auf den Raum übertragen worden.Wir haben uns also genötigt gesehen, für den ebenen Fall in § 1 einenneuen einfachen Beweis auszuarbeiten, den man in dem räumlichen Falleohne größere Änderungen wiederholen kann (§2).
In § 3 werden diese allgemeinen Resultate auf den oben formuliertenPickschen Satz II angewendet.
Als ein weiterer Spezialfall wird in § 4 ein Satz des Herrn I. Schur 10 )über die Abschnitte von positiven harmonischen Funktionen zweier Ver-änderlichen auf drei Veränderliche übertragen. Man betrachte wieder dieEntwicklung einer im Einheitskreise bzw. in der Einheitskugel regulärenund positiven harmonischen Funktion nach Kreis- bzw. Kugelfunktionen.Bekanntlich sind dann die Abschnitte dieser Entwicklungen nicht notwendigsämtlich positiv. Sie können sogar im Einheitskreise bzw. in der Einheits-kugel nach unten unbeschränkt sein 11 ). Wir wollen uns die fragliche Entwick-lung so normiert denken, daß das Anfangsglied lc 0 {x,y) bzw. K 0 (x,y,z)gleich 1 ist. Der m-te Abschnitt besitzt dann in dem Einheitskreise bzw.in der Einheitskugel ein wohlbestimmtes Minimum. Wir bezeichnen mitu die untere Grenze dieser Minima für die Gesamtheit aller harmonischen
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Funktionen der betrachteten Art; dann gilt nach I. Schur in dem ebenenFalle
(7) lim — = Min ^ 1 -- (x reell).
Im räumlichen Falle ist nun, wie in § 4 gezeigt wird,
(7') lim = Min àM (»reell),
wo ./j ( £ ) die erste Besseische Funktion bezeichnet.
§ 5 beschäftigt sich mit dem ebenfalls hierher gehörigen räumlichenGegenstücke zu einer interessanten Bemerkung der Herren W. Rogosinskiund L. Fejér 12 ), die folgendermaßen zu formulieren ist. Während dieAbschnitte einer in dem Einheitskreise regulären positiven harmonischen
10 ) Vgl. a. a. 0. «), S. 128.
u ) Dies ist z. B. der Fall bei den Funktionen (4) und (4'). Vgl. übrigensauch § 4.
12 ) W. Rogosinski, Über Bildschranken bei Potenzreihen und ihren Abschnitten[Mathematische Zeitschrift 17 (1923), S. 260 — 276], vgl. § 3. — L. Fejér, Über diePoBitivität von Summen, die nach trigonometrischen oder Legendreschen Funktionenfortschreiten (Erste Mitteilung) [Acta litterarum ac scientiarum regiae universitatishungaricae Francisco-Josephinae, secto scientiarum mathematicarum 2 (1925), S.75—86],vgl. Theorem IV. — Fejér betrachtet hier auch harmonische Funktionen und nichtnur Potenzreihen wie Rogosinski.