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G. Szegö.

Funktion, wie oben erwähnt, nicht notwendig in dem ganzen Einheitskreisepositiv sind, gilt dies stets (für alle Abschnitte) in dem kleineren Kreise

Hierbei kann die Zahl | durch keine größere ersetzt werden. Bei räum-lichen harmonischen Funktionen, die in der Einheitskugel regulär undpositiv sind, gilt nun Analoges in der Kugel

Auch hier kann die Zahl | durch keine kleinere ersetzt werden.

Während bisher nur unendliche harmonische Entwicklungen betrachtetworden sind, beschäftigt sich der zweite Teil der vorliegenden Arbeit mitabbrechenden harmonischen Entwicklungen, d. h. mit harmonischen Poly-nomen eines gegebenen Grades n. Für diese Unterklasse der harmonischenEntwicklungen lassen sich manche Abschätzungssätze verschärfen. So kannein älterer Satz von Herrn L. Fejér über nichtnegative trigonometrischePolynome 13 ) als eine Verschärfung des Satzes I aufgefaßt werden, wennman sich auf die Gesamtheit der ebenen harmonischen Polynome '/¿-tenGrades beschränkt. An Stelle der Schranke 2 von Satz I tritt dann2 cos w ^ g • I n § 6 wird für diesen Satz ein neuer, auf der Benutzung vonEinheitswurzeln beruhender Beweis mitgeteilt. § 7 bringt eine in ähnlichemSinne aufzufassende Verschärfung des Pickschen Satzes II, die also dasAnalogon des in § 6 behandelten Fejérschen Satzes darstellt. An Stelleder Schranke 3 von Satz II tritt dann eine Zahl von der Form 3@ n ,wobei Q n < 1 auf einfache Weise mit Hilfe der Nullstellen der Legendre-schen und verwandten Polynome charakterisierbar ist.

§ 8 überträgt einen anderen Satz von L. Fejér über nichtnegativetrigonometrische Polynome 14 ), den man ebenfalls als eine Aussage überebene harmonische Polynome auffassen kann, auf den räumlichen Fall.Man betrachte nämlich die Gesamtheit aller harmonischen Polynomen-ten Grades u(x,y) bzw. U(x,y,z), die im Einheitskreise bzw. in derEinheitskugel nichtnegativ sind und im Anfangspunkt den Wert 1 haben 15 ).Dann ist nach L. Fejér

13 ) L. Fejér, Uber nichtnegative trigonometrische Polynome [Journal für Mathe-matik 146 (1915), S. 53—82], S. 79. Hier findet sich der Satz allerdings nur fürKosinuspolynome.

") A. a. O. 13 ), S. 65 — 67. Vgl. auch L. Fejér, Sur les polynômes harmoniques;Sur les polynômes trigonométriques [Comptes Rendus 157 (1913), S. 506 — 509,571-574],

16 ) Vgl. die Bemerkung unter 6 ).

(8)

u{x,y)<^n- 1- 1 für x"-{-y--^ 1.