Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 607

Das in § 7 bewiesene analoge Resultat lautet:

(8') U(x, y, z) (^- ~r 1 ) J — 1 — ( g~ 1} " für x^+y' + z^ 1.

Der Beweis der Behauptungen von §§7,8 kann auf gewisse, längstgelöste Aufgaben über Polynome einer Veränderlichen zurückgeführt werden,die auf diese Weise eine neue Deutung erfahren.

Inhalt.

I. Teil. Unendliche harmonische Entwicklungen.§1. Koeffizientenabschätzungen bei ebenen harmonischen Funktionen.§ 2. Koeffizientenabschätzungen bei räumlichen harmonischen Funk-tionen.

§ 3. Uber einen Satz von G. Pick.

§ 4. Uber die Abschnitte der Entwicklung einer in der Einheitskugel

positiven harmonischen Funktion.

§ 5. Noch ein Satz über Abschnitte.

II. Teil. Abbrechende harmonische Entwicklungen.§ 6. Verschärfung des Satzes I.

§ 7. Verschärfung des Pickschen Satzes II.

§ 8. Übertragung eines Satzes von L. Fejér auf den Raum.

1. Teil. Unendliche harmonische Entwicklungen.

§ 1.

Koeffizientenabschätzungen bei ebenen harmonischen Funktionen.

1. Es sei u(x,y) eine im Einheitskreise x" ^ y" < \ reguläre undpositive harmonische Funktion, deren Entwicklung nach Kreisfunktionen

(k) u(x, y) = k 0 (x, y) + 1c 1 (x, y) -f fc a (x, y) + ... + k m (x, y) + ...

mit k 0 (x, y) = 1 beginnt; d. h.

2 n

(9) w(0, 0) = J*«(i?cos(p, £>sin<p)d(p = 1 (g<l).

o

Es seien ferner / 0 , Â l; ..., X (to ^ 1) gegebene reelle Konstanten, dienicht sämtlich verschwinden. Wir fragen nach dem Minimum und Maxi-mum des harmonischen Polynoms

(10) ¡0 + *i* l(®> ») + ••• + y )»

während u(x,y ) die Gesamtheit aller harmonischen Funktionen der er-