608 G. Szegö.

wähnten Art durchläuft und (x, y ) im Einheitskreise x 2 + y - 1 beliebigbeweglich ist.

Diese Aufgabe ist auf Grund der Integralformel (5) bekanntlich leichtzu lösen. Die Extrema eines festen Polynoms werden im Einheitskreiseam Rande erreicht. Man kann sich also auf derartige Werte beschränken.Es gilt nun

m

À v k v ( cos <p , sin cp)

v=0

/ 11 \ ^ 11

= =— lim m(^cos (jp, psin cp) [A 0 -f 2 cos (<p — cp) -f- . ..

n e-+i J

o

-f- 2 X m cos m (cp — 99)] df.

Setzt man also

(12) t(g, cp) = A 0 + 2 g cos cp + ... + 2 A m g m cos m cp

und bezeichnen ju, M das Minimum bzw. Maximum des trigonometrischenPolynoms t(l,<p), dann folgt aus (11) wegen (9)

m

(13) u < y 1 , A v k v (cos cp, sin cp) < M .

1'=0

Wir behaupten, daß ju und M das gesuchte Minimum bzw. Maximumsind. Es seien nämlich <p 1 , cp. 2 , ..cp l die mod 2 n inkongruenten Null-stellen des trigonometrischen Polynoms t(l, cp) — dann tritt in derunteren Abschätzung (13) gewiß das Zeichen = ein, wenn 9 0 = cp 0 und

i

(14) u (r cos 95, r sin 99) = J! g h i(r, cp — cp 0 — cp h )

h= 1

gesetzt wird, wobei die g h nichtnegative Konstanten mit der Summe 1 be-zeichnen und cp 0 beliebig ist. In der Tat ist wegen (4)

2 zt

2^ ff (g, <p - cp 0 - cp h )t(l, y - cp 0 )d<p = t(g, cp h ),

0

so daß nach (11)

m i i

ZK K (cos cp 0 , sin cp 0 ) = lim 5] g h t (g , cp h ) = %g h t ( 1 , cp ) = pi.»•=0 e->iA=i h= i

Ähnlich wird gezeigt, daß auch bei der oberen Abschätzung (13) dasGleichheitszeichen eintreten kann.

2. Etwas tiefer liegt die Tatsache, daß der eben angegebene Fall dereinzige ist, in dem in der unteren Abschätzung (13) das Gleichheitszeicheneintreten kann 18 ). (Ähnlich bei der oberen Abschätzung.)

le ) Vgl. die Andeutungen bei G. Pick, a.a.O. 3 ), S. 331 —332.