Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 609

Es sei nämlich u (x, y) eine solche Funktion, daß für ein gewisses cp 0

m

(15) yjh &„(cos (p 0 , sin cp 0 ) = fi

r=0

ausfällt. Es muß dann

2.1

lim s— f u(q cosy, ßsin<p)i(l, ¡p — <p 0 ) d(p

e-*i ¿ 11 J0

2.~t

= lim - u (qcos(v + <p 0 ), £>sin(ip + <p 0 )) í (1 , y)d y = ju,e+i 71 J

0

d. h.

2ji

(16) hm s- (^(ecos^ 95 0 ), ßsin (~cp + 9? 0 ))[i(l, 7p) — ,i]dy = 0

£>-►1

0

sein.

Wir wollen zunächst der Einfachheit halber cp 0 = 0 setzen. Es seien,wie oben, cp 1 , <p 2 , die mod 2 tí inkongruenten Nullstellen von

t(l,cp) — /u. Wir zeigen zuerst, daß, unter I ein beliebiges abgeschlosse-nes Intervall verstanden, das keine diesen Nullstellen mod 2 71 kongruen-ten Stellen enthält,

(17) lim fu(çcos (p, QÚn^dq) — 0

(,'-*1 i

gilt.

Der Integrand in (16) ist nichtnegativ, so daß aus (16) für 950 = 0

lim \u(q cos <p, Q sin q>) [t ( 1 , ~cp) — ¡u] dTp = 0s-y 1 y

hervorgeht. Für genügend kleine Werte von 1 — q ist aber auf 1

— /x> u,

wo « eine feste (von I abhängige) positive Zahl bezeichnet. Hieraus folgtdie Behauptung.

B. Es seien nun I 1 , I., , ..., I t beliebige abgeschlossene Intervalle,welche keine gemeinsamen oder mod 2 n kongruenten Punkte haben undbzw. cp 1 , cp 2 , ..., (p l enthalten. Wir zeigen, daß für h = 1, 2, ..., I

(18) lim J* w (ç> cos <p, o sinip) cZç? = 2 Ti <7 ;j¡>-►1 i h

ist, wo die g h selbstverständlich ^ 0 sind und die Summe 1 haben. (Siesind wegen (16) unabhängig von der speziellen Wahl der Intervalle I h .)Es sei t(cp) ein beliebiges trigonometrisches Polynom. Dann ist

2ît

lim f u( g cos<p, psinip) ¿(<p) dip

£->1 0