610 G. Szegö.

vorhanden. Hieraus folgt mit Beachtung von (17) auch die Existenz von

1 r - ■ - - -

(19) lim £ I u(gcos<p, gsin<p) t(cp) dep.

e-*iÄ=i i h

Wir behaupten ferner die Existenz von

(20) lim 2! t (<p h ) Ju(g cosTp, gsin<p)d<p .

£>-> 1 A=1 I h

Es sei nämlich s > 0 und I h ein <p h enthaltendes Teilintervall von I h ,auf dem

: t (» - t (<p h ) \ < £ .

Die Differenz der beiden Summen in (19) und (20) ist dann absolutgenommen kleiner als

1 C _ . _ _ 1 r

e £ J u(gcos cp, g sinç?) dcp -)- 2 G J u(g cos 99, g sin <p) dep,

Ä=1 /, i=l; _7

* 1 h

wobei G = Max | t(<p) | ist. Das zweite Glied strebt für g — >-1 gegen 0,das erste ist

2 71

< ef u(g cos ip, g sin (p) dip = 2 ne.o

Setzt man nun in (20) der Reihe nach

t(<p) = c i»-i><P (k = l,2, ...,l), 17 )

so ergibt sich die Existenz von

i . _ . _ _

lim J u (g cos cp, g sin cp) dep (k = 1, 2, .. I);

Í>->1 h— 1 I fr

da die Determinante

von Null verschieden ist, folgen hieraus die behaupteten Gleichungen (18).

4. Wir schließen aus (17) und (18) auf eine aus der Theorie dersingulären Integrale geläufige Weise, daß unter f{cp) eine beliebige, füralle Werte von cp stetige, nach 2 n periodische Funktion verstanden,

. V* — — — — 1

lim J u (g cos cp, g sin cp) f{<p)dcp = 2 n £ g h f(<p h )

£">•1 O li—X

17 ) Die Benutzung von imaginären Größen ist offenbar unwesentlich: sie kannohne weiteres vermieden werden, indem man etwa t (95) = cos (it — 1 ) (<p — <p') setzt,wo <p' so gewählt werden muß, daß die Zahlen cos (<pa — <p') (h = 1, 2, ..., I ) sämt-lich voneinander verschieden ausfallen.