Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 611

gilt. Insbesondere liafc man für « = 0,1,2,...

2 f - - 1

lim J u(g cos <p, g sin 93) cos n (97 — 99) dip —■ 2 71 £g h cos n (q> h — 9 0).e->-i 0 h- 1

Dies heißt aber, daß die Entwicklung der Funktion u(x, y ) mit der von

i

c P-<Pu)

/1=1

übereinstimmt, woraus (14) (mit cp 0 = 0) folgt.

Im Falle eines beliebigen cp 0 muß

i

u{r cos (99 + cp 0 ), r sin (99 + cp 0 )) = £ g h t(r, <p - <p h )

/1=1

sein, was die Behauptung war.

§2.

Koeffizientenabschätzungen bei räumlichen harmonischen Funktionen.

1. Ein Teil der vorangehenden Betrachtungen kann fast ohne Änderungauf den räumlichen Fall übertragen werden.

Es sei U(x,y,z ) eine in der Einheitskugel x"' -f- y- + z" < 1 regu-läre und positive harmonische Funktion, deren Entwicklung nach Kugel-funktionen

(K) U(x,y,z)

= K 0 (x, y, z) + K 1 (x, y , z) + K„(x, y, z) — . .. + K m (x, y,z) + ...mit K 0 (x, y, z) = 1 beginnt; d. h.

(9') Z7(0, 0,0) = j" U(g sin 6 cos 93, g sin 0 sin 9?, g cos tí) do — 1

(q < 1),

wo do das Flächenelement der Einheitskugel E bezeichnet. Es seienferner A 0 , X x , ..., X m (m ¡> 1) gegebene reelle Konstanten, die nicht sämt-lich verschwinden. Wir fragen nach dem Minimum und Maximum desharmonischen Polynoms

(10) /„Q K 0 ( x , y , 2) -f- K 1 ( x, y , 2) — Ä m K m (x, y , 2),

während U(x,y,z ) die Gesamtheit der harmonischen Funktionen der er-wähnten Art durchläuft und (x, y , 2) in der Einheitskugel x~ + y" + 2 2 1beliebig beweglich ist.

Die Extrema eines festen Polynoms werden in der Einheitskugel amRande erreicht. Man kann sich also auf derartige Werte beschränken-Es gilt