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G. Szegö.

m

(11') 5j h v K v (sin 0cos 99, sin0 sin 99, cosd)

v—0

1 r I" — — - m

= - lim I f U (g sin 0 cos <p, g sin 0 sin 9?, g cos 6) (2 v-\-l )Â ,.P„ (cosy) do,

4jt e ->i E >'=0

wobei y die sphärische Distanz der Punkte mit den Polarkoordinaten(1,0,<p) bzw. (1,0,Q9) bedeutet:

cos y = cos 0 cos 0 + sin 0 sin 0 cos (<p — 9 0) .

Setzt man

m

(12') T(g, r¡)= 2!(2v-\- 1 ) Â,. g v P r (cos 17)

v=0

und bezeichnen /. 1 , M das Minimum bzw. Maximum von T( 1, /;), so folgtaus (ll') wegen (9')

m

(13') fj. <[ Â v K r (sin 0 cos 99, sin0sin9J, cos0) M .

r= 1

Die Zahlen ¡u und M liefern auch hier die Lösung der vorliegendenAufgabe. Es seien nämlich r¡ 1 , rç a , .. r¡ l die im Intervall 0^r¡<^n be-findlichen Nullstellen von T(l, r¡) — /.i. Ist ( 1, 0 O , <p n ) ein beliebiger Punktder Einheitskugel, so tritt in der unteren Abschätzung (13') gewiß dasZeichen = ein, wenn ö = 0 o ,(p = (p o und

i

(14') £7(rsin0cos9?, r sin0sin 99, rcos0) = ^g h ^{r, y h )

h= 1

gesetzt wird. Hier sind die g h beliebige nichtnegative Konstanten mit derSumme 1; y h bezeichnet die sphärische Distanz des variablen Punktes(1,0 ,99) von einem beliebigen Punkte ( 1, Ö 7i , 93^) desjenigen Kreises C hauf der Einheitskugel, dessen Punkte von (1,0 O , 99 0 ) die konstante sphä-rische Distanz r] h haben. Dies wird ähnlich wie in § 1 durch Beachtungder Gleichung

(e> Vo) do = t (q> Vh)

E

gezeigt, wobei y h die sphärische Distanz der Punkte (1,0 ,99), ( 1, 6 h , cp h )und y 0 die von (1,0, 99), (1, 0 O , cp 0 ) bedeutet.

Die Kreise G h können sich auch auf Punkte reduzieren, nämlich dannund nur dann, wenn r¡ h = 0 oder n ist; es handelt sich dann um denPunkt (1,0 O ,99 O ) selbst bzw. um seinen Gegenpol.

2. In dem Falle, wo die Zahlen nicht sämtlich gleich 0 oder nsind , gibt es außer (14') offenbar noch andere Funktionen U(x,y, z ) der-gleichen Eigenschaft. In der Tat, es sei f h eine beliebige, auf C h defi-nierte monotone Funktion. Dann tritt in der unteren Abschätzung (13')