Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. (513

das Gleichheitszeichen, wie leicht ersichtlich, auch für die harmonischeFunktion

(14") ¿I f S£(r, y h )df h =2J ( -^— L i d fh

h= i J A=i J (1 —2rcosy Ä + r-) s

ein; hierbei seien die einzelnen Integrale im Stieltjesschen Sinne gemeintund es sei

1 fdf h = 1.h=ic h

(Für den Fall »?,, = 0 oder n sei unter C h der Punkt ( 1, 0 O , cp 0 ) bzw.sein Gegenpol verstanden; das h- te Integral ist dann durch ein einzigesGlied von der Form des A-ten Gliedes in (14') zu ersetzen, an Stellevon f df } in der letzten Summe tritt dann einfach g h .)

C H

3. Wir kommen nun auf die Aufgabe zu zeigen, daß die eben er-wähnten Funktionen (14") die einzigen sind, für welche in der unterenAbschätzung (13') das Gleichheitszeichen gilt. (Ähnlich bei der oberenAbschätzung. )

Es sei hier z. B. für 0 = 0 O , (p = <p 0 das Zeichen = erreicht. Dann gilt

( 16') lim ff U (g sin 0 coscp, q sin 6 sin Up, g cos ö) [ T (1 , 7 0 ) — ,u] do = 0,e->-i 4îr E

wobei y 0 die obige Bedeutung hat.

Wir wollen zunächst annehmen, daß — nur die beiden

Nullstellen 0 und n hat. Dann gelten die Überlegungen von § 1 fast ohneÄnderung.

Es sei 1 ein beliebiger (zusammenhängender und Jordanschen Inhaltbesi tzender) Bereich auf der Einheitskugel, der den Punkt (1, 0 O , cp 0 ) undseinen Gegenpol nicht enthält. Man zeigt wie in §1,2, daß

( 17') lim J J U( q sin 6 cos cp, g sin Ö sin 9?, q cos 0) da = 0 .

1 I

Es seien ferner l l und / 2 zwei Kalotten um (1,0 O ,9> O ) bzw. umseinen Gegenpol. Es ist wegen (9'), (17')

lim (ff -f- ff) U( q sinö cos ¡p, q sin 0 sin ïp, g cos 0) do = 4 n .

£->■1 I X In

Ferner existiert (vgl. §1,3)

lim J f U(q sin 0 cos ~ip, q sin 0 sin Up, g cos 0) cos y 0 do

Q —> 1 E

== lim ( fj + J/ )î7(psin0 cos 7p, g sin 0 sin cp, g cos0) cos y 0 doe-> 1 /,

- lim ( ff — fj ) U(g sind cos ~cp, g sin 0sin <p, g cos 6) do;