614 G. Szegö.

folglich existieren auch die Grenzwerte

lim ff U(g sin 0 cos 7p , g sin 0 sin 7p, g cos 0) da = 4 n g h 0 ,e->i i„

. (/¿=1,2).

Hieraus folgt (vgl. § 1, 4) für eine beliebige, auf der Einheitskugel stetigeFunktion F(0, cp)

lim fj U(g sin B cos 7p, g sin B sin 7p, g cosÖ) F (B, 7p) da

Q — ► 1 E

~ 4 \ ç 1 F (0 O , <p 0 ) -f- <7 2 F ( ti 6q, Ç^ o )]*

Setzt man insbesondere

F(B, cp) = P n (cos B cos 0 + sin B sin 0 cos (cp — cp)) (n = 0,1,2,...),so ergibt sich

Z7(r sin0 cos 99, r sin 0 sin 99, r cos0) == g x ®(r, y 0 ) + g« ® (r, n — y 0 ),

wobei y 0 die sphärische Distanz der Punkte (1, 6, cp), (1, 0 O , <p Q ) ist.

Diese Betrachtung vereinfacht sich auf offensichtliche Weise, wennT ( 1, i]) — [X im Intervall (0, n) nur einmal (für ij — 0 oder r\ — n) ver-schwindet.

4. Im allgemeinen Falle ist es zweckmäßig, zunächst eine Trans-formation der Einheitskugel derart vorzunehmen, daß (1,0 O , <p 0 ) in denNordpol übergeht. Die Funktion U(x,y,z ) verwandelt sich dann wiederin eine positive harmonische Funktion mit dem Wert 1 im Anfangspunkt,die die Gleichung (16') erfüllt; hier ist jetzt einfach ^ = 0 zu setzen.Man zeigt dann, wie oben, die Gleichung (17'), wobei I keine Punkte(auch am Rande keine) mit der Poldistanz r¡ h [h = 1, 2, ..., I) enthält.

Es sei jetzt l h der streifenartige Bereich, begrenzt von den beidenBreitenkreisen, deren Punkte die konstante Poldistanz r¡ h — d bzw. r¡ h -\-óhaben; hierbei sei <5 > 0 so klein, daß die Bereiche l h keine gemeinsamenPunkte aufweisen 18 ). Dann existiert

(19') lim 5J ff U (q sinÖcosip, g sin 0 sin 9?, gcosÖ)P(cos y)do,

O —> 1 Jl — 1 I h

wo P (f ) ein beliebiges Polynom ist und y die sphärische Distanz von(1,0, 95) von einem beliebigen Punkte (1,0,9?) bezeichnet. Setzt manhier an Stelle von P(cos y) der Reihe nach

P 0 (cosÖ), P x (cosÖ), ..., P l _ 1 (cosÖ)ls ) Für r¡h = 0 oder jt fehlt die eine Hälfte von I h \ es ist dann eine Kalotte.