Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. (315

ein, so ergibt sich, wie in §1,3, daß auch

(18') lim ff Î7(gsin0cos^, gsin0sin<p, ßcos0)c£a = ^ng h = 4jzg}, 0)s-> i h

existiert;

1-

A=1

Aus (19') folgt ferner, indem man P(|) = P n (|) setzt und das Ad-ditionstheorem der Kugelfunktionen beachtet, die Existenz von

lim f J U (q smQcoscp, g sind sin cp, Q cosd) Pn(cosQ) e lv ^ de,

e~> i h= i i h

oder von

lim Pn (cos ^ Ä ) ff U (q sin 0 cos cp, g sin 0 sin y, g cos 0) e lv * do;

e->ií=i

hierbei ist v positiv ganz, n^>v. Wegen (2) treten hier tatsächlich nurdiejenigen Glieder auf, welche den Nullstellen i] h 4= 0, n entsprechen. Wennihre Anzahl V ist, so führt das letzte Ergebnis für n = v,v + V — 1 auf die Existenz von

(21) lim ff U(g sin 0 cos ~cp , g sin 0 sin <p, g cos 0) e 1 ' * da = 4 ne-* 1 i h

.(v=l,2,3, ...).Es sei nun h s o b eschaffen, daß g\ ' 0) > 0. Der Punkt

(22) (" = 1.2

3h 9h

des 2 iV-dimensionalen Raumes fällt wegen (18') in die kleinste konvexeHülle der Kurve

f y =cosv<p, r) v = sin v 7p (v = 1, 2, .. N),

wobei q> das Intervall [0, 2ji ~\ durchläuft, und dies für alle N. Ähnlichesgilt für den Punkt des ( 2 N -f- 1 ) - dimensionalen Raumes, den man erhält,

wenn zu den Koordinaten (22) noch —- 9Î g^ rl) hinzutritt, N=1 , 2, 3, ... .

3'h

Nach einem allgemeinen Satz von F. Riesz 19 ) gibt es also eine monotoneFunktion f h (q>), die man sich auf dem Kreise G h "°) gegeben denken kann,derart, daß

f e iv *df h = g { ? (r = 0, 1, 2, 3, ...)

c.

" 4

19 ) F. Riesz, a. a. 0. "), S. 56.

20 ) C h ist der Breitenkreis, dessen Punkte die konstante Poldistanz haben;er liegt offenbar in I h .