616 G. Szegö.

ist. D. h. unter y dasselbe wie in (19') verstanden,

JP (cos y)df,— lim £7(gsin0cos(p, £>sin0sin<p, gcos0)P (cos y)da.J T J

Hieraus schließen wir weiter

-- lim U( q sin 0cos 1p, £>sin0sin<p, q cos0)P^cos y) da

4jr

i

= 2 f P n ( COa r) d fh>h=l Jh

d. h. die Behauptung.

§3.

Über einen Satz von G. Pick.

1. Bevor wir auf den wichtigsten Spezialfall von § 2, nämlich aufden in der Einleitung erwähnten Pickschen Satz und auf eine naheliegendeErweiterung desselben kommen, empfiehlt es sich das Analoge in derEbene vorauszuschicken.

Aus der Carathéodoryschen Theorie ist der folgende, I verallgemeinerndeSatz bekannt.

I'. Es sei u(x,y) regulär harmonisch und positiv für x' 2 + y"' < 1 ;in ihrer Entwicklung (k) nach Kreisfunktionen sei ferner

K( x > y) = i-

Dann ist für œ 2 + î/ 2 <[ 1

(23) |* m («,y)|^2 (m = l,2,3,...).

Schreibt man diese Ungleichung in der Form

— 2£ k m (x, y) ¿2,

so kann sie (für x 2 + y 2 = 1) als ein Spezialfall von (13) aufgefaßt werden.Es ist hier

t ({?, (p) — cos mcp, ju = — 2, M = 2.Das Gleichheitszeichen tritt nur für die Funktionen

m

V f( . 2ich\

2j 9 h t{r,<p-(po + —)

/1=1

m

ein, wo ^,,^0. £ g h = 1 ist.

h = i

2. Das räumliche Analogon von i', das den Pickschen Satz II alsSpezialfall enthält, lautet folgendermaßen :