Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 617

II'. Es sei U(x, y , z) regulär harmonisch und positiv fürx * -j_ y°- -4- c 1 ; in ihrer Entwicklung (K) nach Kugelfunktionen seiferner

K q (x, y , z ) = 1.

Dann ist für x 2 + y°" + z 2 <11

(23') \K m {x,y,z)\.<,2m^rl (m = 1,2,3,...).

Schreibt man diese Ungleichung in der Form

— (2m + 1) <i KJx, y, z)^2m + 1,

so kann sie (für x"- + y- + z 2 = 1) als ein Spezialfall von (13') aufgefaßtwerden. Es ist hier

T (q , r¡) = (2m + l)ß m P m (cos ^). M = 2m + 1.

Bei ungeradem m ist ferner /.t = —(2m-j-l), bei geradem m istfx == — « m (2m +1), wobei a m eine gewisse Zahl mit 0 < a m < 1 be-zeichnet. Im letzten Falle kann (23') zu

(23") — « w (2m + l)^4(a:, y, z)^2m + l (ar + y"+ z 3 <¡1)

verschärft werden 21 ). Das Gleichheitszeichen tritt in (23') bei geradem mund bei x = sin 0 O cos cp 0 , y = sin 0 O sin cp 0 , z = cos 0 O nur für

U(r sin 0 cos cp, r sin 0 sing?, r cos cp) — g 1 ® (r, y) + g^^:(r,n — y)

ein, wo g 1 0 , g., 0, g x + g 2 = 1 und y die sphärische Distanz derPunkte mit den Polarkoordinaten (1, 0, 9 0) bzw. (1, 0 O , cp 0 ) ist. Bei un-geradem m tritt die Gleichheit nur für^(r, y) oder für ® (r, n — y) ein.

§4.

Über die Abschnitte der Entwicklung einer in der Einheitskugelpositiven harmonischen Funktion.

1. Die Existenz einer in der Einheitskugel regulären positiven har-monischen Funktion, deren Abschnitte in der Einheitskugel nach untenunbeschränkt sind, folgt unmittelbar aus der bekannten Tatsache, daß esauf der Einheitskugel stetige Funktionen gibt, deren Laplacesche Reihein einem Punkte der Einheitskugel zwischen — 00 und 00 oszilliert. Einbesonders einfaches Beispiel für dieses Phänomen stammt von F. Lukács 22 ).

al ) Man ze'gt leicht, daß wenn m die geraden Zahlen durchlaufend über alleGrenzen wächst,

lim a m = Min J 0 (x) ( x reell)

= - 0,4028 ....

2a ) F. Lukács, Über die LaplaceBche Reihe [Mathematische Zeitschrift 14 (1922),

S. 250—262], Fußnote 10 ); vgl. auch L. Fejér, a.a.O. 24 ), Fußnote 3 J. Diese Beispiele

(Fortsetzung der Fußnote 22 auf nächster Seite.)

Mathematische Annalen. 96. 40