618 G. Szegö.

Betrachten wir nun den m-ten Abschnitt der Entwicklungen sämt-licher in der Einheitskugel regulären positiven harmonischen Funktionen,die im Nullpunkte gleich 1 sind. Jeder solche Abschnitt besitzt einwohlbestimmtes Minimum in der Einheitskugel und die untere Grenze(Minimum) ¡i m dieser Minima ist nach § 1 gleich

m

Min U(2v+l)P v (£),

v=0

wobei £ das Intervall [—1, 1] durchläuft 23 ).

Es gilt nun, wie wir beweisen wollen, die folgende Grenzwertgleichung :

(24) lim ^ = Min ^ ( x > 0),

m-> oo " m x

wo Jj (x) die Besseische Funktion erster Ordnung bezeichnet.

2. Es ist bekanntlich

lim P m (cos~) = J 0 (ü),

co x m/

und zwar gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle 0 0 ^ 0 O . Wennalso e>0 vorgeschrieben wird, dann kann ein v 0 (e) so gefunden werden,daß für V > v 0 (e)

P r (cos~) - J 0 (d) < e

gilt; 0 <[ 0 ^0 O . Es sei nun m>v 0 (e) und v 0 (e) <¡¡v man hat

P v (cos —) = P v ("cos — —) ,

\ m 1 \ m V / '

°"( C0S ^)- J oQ'-0)|< e -

Hieraus schließt man, daß der Grenzwert

m + _L

(25) lim Ju (2^+1) P v (cos —) = lim — V J (— 0)

rn->* 2m ' V m > m ° '

1

= J x J a (Ox) dx = —fi-

existiert, und zwar gleichmäßig im Intervall 0 <^0<¡0 O .

müssen eigentlich noch etwas modifiziert werden, damit die Oszillation der Partial-summen zwischen — oo und + oo erfolge. Man nehme etwa die Funktion

OD

f(d,(p)= JE (— l) r V 4 " (P V 3 (COS 0) — Pv 3 + 2 (cos 6)).

V = 1

m

'-' 3 ) Das Minimum ji m von £ (2v + 1 ) P v (f) im Intervall — 1<£<1 wird

v=0

wahrscheinlich nur einmal erreicht, und zwar wohl an der größten relativen Minimum-stelle. Im Besitze dieses Theorems und auf Grund der Ergebnisse von § 2 wäre esnicht schwer, sämtliche Funktionen zu bestimmen, bei denen /i m erreicht wird.