Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 019

3. Anderseits gilt nach Stieltjes

(26) |P m (cos0)|< ; =4_ (to = 1, 2, 3, ... ; 0 < 0 < n),

I m sin o

wobei A eine absolute Konstante ist 34 ). Man hat also bei festem 0 O > 0

für ^ <0<£, v^l,m — — 2 —

1 P r (cos ti) I < Û < Ä —

1/2,4 »»-l

f m I TI m } m

wo B ebenfalls eine absolute Konstante ist. Folglich haben wir für diegenannten Werte von 0

m tri

I J^(2r + 1) P v (cos0)| < 1+ ^ J^j/™(2r + l) <1 + A m 2 ;

V—0 l U Oy = l )Vo

wo C eine absolute Konstante ist. Es ist somit

m

limsu P¿ Max i^ T (2" + 1 )P.( cos 0)|

m-**. ¿m eo Seá ft' r=0 |öo

2

d. h. beliebig klein, wenn 0 O groß genug ist.Beachtet man schließlich, daß

¿'(2v + l)P r (£) = (m + l)

i -f

r=0

im Intervall [—1,0] dem Betrage nach kleiner als 2(m + l) sofolgt, daß

m

lim sup Max I (2 v + 1) P r (cos 0) !

m->- — <0<jt

m~ ~ '

J (0)

für 0 O — ► oo gegen 0 geht. Da — ¿ — für 0>O auch negative Werte an-nimmt, folgt hieraus die Behauptung 25 ).

24 ) Einen besonders einfachen Beweis für diesen Satz gab neuerdings L. Fejér,Abschätzungen für die Legendreschen und verwandte Polynome [Mathematische Zeit-schrift 24 (1925), S. 285-298],

26 ) Anstatt der Stieltjesschen Ungleichung (26) könnte auch die folgende be-nutzt werden :

m

i;(2»' + l)Pv(f)|<| , 2(»w + l) (-l^"f<l; »1 = 0, 1, 2, ...),

r=0

die man wegen (39), (41) aus einem allgemeinen Satze der Abhandlung: G. Szegö,Uber Orthogonalsysteme von Polynomen [Mathematische Zeitschrift 4 (1919), S. 139bis 1511 schließen kann.

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