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G. Szegö.

§5.

Noch ein Satz über Abschnitte.

Es sei U(x,y,z) eine in der Einheitskugel x a - + y' 2 + z 3 < 1 regu-läre harmonische Funktion; ferner sei daselbst

m < U(x, y, z) < M.

Entwickelt man U(x,y,z) in eine Reihe (K) nach Kugelfunktionen, soliegen sämtliche Abschnitte derselben zwischen m, und M, wenn der Punkt(x, y, z) innerhalb der Kugel

1Y 2

x * + y*. + Z *<{^gelegen ist.

Es genügt, folgenden Spezialfall zu beweisen: Wenn U(x,y,z ) für+ 2/ 2 + z " < 1 regulär, harmonisch und positiv ist, dann sind auch dieAbschnitte der Entwicklung (K) positiv, vorausgesetzt, daß ( x,y,z)innerhalb der vorhin erwähnten Kugel bleibt.

Nach den Ergebnissen von § 2 genügt es also zu zeigen, daß sämt-liche Abschnitte der Entwicklung

®(q,v)=~- 2 (2v-f- 1) Q v P v (cos rj)

Y = 0

für g — § durchweg nichtnegativ ausfallen. Dies ist aber die unmittelbareFolge eines Fejérschen Satzes, nach dem die Summen

n m (cosr¡)= P 0 (cosï?) 4- P^cosy) + ... + P m (cos?j)

für 0 <¡ nichtnegativ sind 26 ). In der Tat gilt

m

(2v + 1) Q v Pv (cos rj)

v=0

m— 1

= 2 ((2 V 1) g v — (2r +3)ö v+1 )IZ,. (cos i|) + (2m + l)g m ü (cos r¡).

v= 0

Die Faktoren neben i7„ (cos?;) sind für g = | sämtlich ¡>0, weil ja

2 "+ 1 \ 1 _ „

2r + 3 —3 e '

Die Betrachtung des ersten Abschnittes der Funktion £(£>,»?) lehrt,daß I durch keine kleinere Zahl ersetzt werden kann.

a6 ) L. Fejér, Über die Laplaoesche Reihe [Mathematische Annalen 67 (1909),S. 76-109], S. 83-84.