Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen.

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II. Teil. Abbrechende harmonische Entwicklungen.

§ 6.

Verschärfung des Satzes I.

In der Einleitung ist der folgende Fejérsche Satz erwähnt worden,den man als eine Verschärfung von Satz I auffassen kann.

Es sei

q, (0) = 1 -j- Aj cos 0 + [a. 1 sin 0 -j- ... -)- l n cos nd + sin tidein nichtnegatives trigonometrisches Polynom n-ter Ordnung. Dann ist(27) i + /¿i 2 cos .

Die Zahl 2 cos kann hier durch keine kleinere ersetzt werden.

n + 2

Herr Fejér gelangte auf diese Ungleichung durch die a. a. 0. 13 ) be-nutzte (zuerst von F. Riesz bewiesene) Pararneterdarstellung der nicht-negativen trigonometrischen Polynome. Während es ihm schon früher 2 ')gelungen ist, die sonstigen, a. a. 0. 13 ) bewiesenen Abschätzungssätze auchelementar (d. h. ohne die erwähnte Parameterstellung) zu begründen, warein derartiger Beweis für den oben formulierten Satz bisher nicht bekannt.Dies soll im folgenden nachgeholt werden.

1. Für n = 1 ist die Behauptung klar. Für n^>2 liegt es nahe,zunächst die folgende Aufgabe zu stellen :

Es ist eine Lösung des Gleichungssystems

(28 ) r, 6i + r -2 e t + • • • 4~ r n e n —

2 cos für k = 0 ,

n + ¿

1 für k — 1,

0 für k = 2, 3, . ..

zu ermitteln, für ivelche

r v ^> O, I £ v í = 1 (r = 1, 2, ..., n)

gilt.

Die Existenz einer derartigen Lösung folgt unmittelbar aus derCarathéodoryschen Theorie, indem man zunächst durch eine ähnlicheRechnung wie bei L. Fejér, a. a. O. 13 ), S. 77—79, zeigt, daß das Maximumder Hermiteschen Form

11 -1

^ X y X V J —}— X V

V- 0

Vgl. die unter 14 ) zitierten Comptes-Rendus -Noten.