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G. Szegö.

unter der Nebenbedingung ¡ x 0 \ 2 -j- j x 1 \ ' -j- • • • + ! ¡ 15 = 1 gleich 2 cos ~rr ¿

ist. Wir wollen hier die Heranziehung der Carathéodoryschen Theorievermeiden und gleich etwas genauer zeigen, daß

(29 ) r *=dh( cos vrh~ cosn )' ^ = (» = i,2,...,»)

eine Lösung von der gewünschten Art ist.

Dies kann ohne weiteres verifiziert werden. Man kann jedoch aufdem folgenden natürlicheren Wege zu diesem Resultate kommen.Das Gleichungssystem (28) besagt, daß

m l^ z =cos ~ ¿ - z 4 ((z n+i ))

V — î

ist, wobei (( z n+ 1 )) eine Potenzreihe bezeichnet, die keine niedrigerenPotenzen von z als die ( » + 1 ) - te enthält 28 ). Wir gehen nun aus vonder Entwicklung

1 -2 cos ~i 9 z + z 2

—j— = , n „, „ =1 — 2 cos—^z-j-z' 2 + ((z"+ 2 )).a>(2) 1 +z" + - n + 2 1 1 "

Hierbei ist w (a) ein Polynom »-ten Grades und man hat

n

« (z) = 7/ (1 — e r z),

r=1

wenn

. 2v+l

e v = e n+¿ (v = 1, 2, ..., »)

gesetzt wird. Folglich gilt

1 —

f(*) = ~ cos = cos ¿2 - 2 + ((z" +1 )).

Die rationale Funktion f (2) hat m (z) zum Nenner und ein Polynom« -ten Grades zum Zähler; wir zeigen, daß sie die Form der linken Seitevon ( 30 ) besitzt, wobei r„ > 0 .

Es ist zunächst mit geeigneten komplexen Konstanten c 0 , c 1 , c 2 , ..., c n ,

f(z) = c o + ^ \ ~~T r z

-*) Vgl. die erste unter u ) angeführte Comptes-Rendus -Note von L. Fejér, woein auf ähnlichen Prinzipien beruhender Beweis für die Ungleichung (8) gegeben wird.