Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 623

SO

Hierbei ist f(oo) — c 0 = — cos unc ^ fW ~ c o + —' c >' = cos n + 2 :1 "

daß c 0 = — -5- £c r . Es ist also

¿ r=l

n -,

, 1 VT 1' + «,*

^) = ä2 c W

V=1 v

Die Konstanten c,. = r v können hieraus ohne Schwierigkeit bestimmtwerden. Es ist

r„ = lim ( 1 - z) f(z) = — «, lim = ^f l ~ ) .

z^>-e v Z-> e y \ ' v V

Nun gilt

( Jl + 2)?»+ 1 (« + 2)F v »

co (f,.) = —-—- = - —

^ 2008 ^^ 4 ""^ £ ." 2cos ^ + 2 + ? .'

(n + 2)F v "

2 ^cos -

so daß

o( 2 "+ i * y

2 cos — jr — cos —-TT

\ n + 2 n + 2/

/ 2 r +1 Ti \

n+ 2 V° 0S w + 2 " T ° 0S 11 + 2/ 2 / 3t 2v+l ^

rv = e , = _ (cos — -g- cos n - 2 .)

(v= 1, 2, .n),

woraus r v > 0 hervorgeht.

2. Wir kommen jetzt auf den Beweis des eingangs ausgesprochenenSatzes. Es ist

n

V (6) = 2 r r V ( 0 + n ) = 2 C0S ^2 ~ ( A 1 C0S 9 + SÍn 0 )

V=1

ein trigonometrisches Polynom erster Ordnung, das für alle Werte von önichtnegativ ist. Folglich gilt

1 ¿i + fií <L 2 cos

n + 2'

d. h. die Behauptung. Das Gleichheitszeichen kann hier nur dann eintreten,wenn für irgendeinen Wert 0 = 0 o

V>(0 o ) = 0

wird. Dann hat man aber

V ( 0 ° + liTT n ) = 0 (" = 1,2

d. h.

(p (0) — c j co (e i(0_e °>) j 2 ,