624 G - Szegö.

wo c eine passend zu wählende Konstante ist. Sie wird durch die Be-dingung

¿0) "dd = 1

O

bestimmt. Nun ist bekanntlich

« sin(»- + l)—

1

n 11

1 — 2 cos -z + z" v=o sin—-—-

n+2 n+2

also

, N 1 +z" + s ' * y w + 2co (z) — = A —

V ' ."TT ■ ' i ' .7JT

Es ist somit

i J|cü(e i e)! 2 á0=¿ 7

. sin (" + 1 )irr\ i

- ® . —

1 — 2 COS ;i + 2- r=0 sin

11 + 2 11 + 2

• /sin (" + 1 ),T2

71

sin

n 4-

weil ja

ist. Wir haben folglich

n 1 — COS (v-f l ) -

yr v w + 2 _ M + 2

. 2 n In '

»■=0 1 — cos —— 1 — cos ■=.

n+2 n+2

»+ir=0

. 2 71

1 - cos ——

n+ 2 2 .„= —r-s Sin •

n +2 n + 2 m + 2

und

( 31 ) çp (0 ) = - -1. - ! ^ sin (| + 1 ) - 2 " I

v=0

z=e i(0-d o)

.2v+l

n ii

1 — cos — n ! ,• 2>,+1

"±1/711 -e n+s '\,

n + 2 -t-i 1 I z=e i(6-e„) ■

r=l

Das sind die einzigen trigonometrischen Polynome der zugelassenen Art,für die in (27) das Gleichheitszeichen eintreten kann.

3. Mit Hilfe der vorhin abgeleiteten Ungleichung (27) kann auch diefolgende allgemeinere Aufgabe gelöst werden:

Welches ist das Maximum von -j- fiq, wenn

f (0) = 1 -f- X 1 cos 0 -(- fi ± sin 0 —... —j— cos n 0 -j- fi n sin n 0