Koeffizientenabschiitzungen bei harmonischen Entwicklungen.

G25

die Gesamtheit aller niclitnegativen trigonometrischen Polynome der festenOrdnung n mit dem Absolutglied 1 durchläuft? (q = 1,2, .... n.)

Für q = 1 wird diese Frage durch (27) beantwortet. Der allgemeineFall kann leicht auf diesen Spezialiall zurückgeführt werden. Es ist nämlich

Q

\ 2 c p {® + T") = 1+;i î cosgö + Aising0 + ^ a cos2g0+ i u aa sin2gr0- ...

1 v=l 1

ein nichtnegatives trigonometrisches Polynom von der Ordnung \~\ inqO. Wendet man darauf (27) an, so ergibt sich sofort

(27') + [x] <¡ 2 cos-F-f (q = 1,2,..., n) 29 ).

[f]+ 2

Man sieht, daß hier das Zeichen = tatsächlich eintreten kann. Be-zeichnet nämlich (p n (6 — 0 O ) das trigonometrische Polynom n - ter Ordnung(31) (0 O beliebig), so ist dies sicher der Fall, wenn <p(0) = 99 , (<70 — 0 O )

L 1 \

oder allgemeiner <p(0) = cp.Aqft — ö o )^(0), wo %(d) ein beliebiges nicht-

[ Q J

Tnl

negatives trigonometrisches Polynom von der Ordnung n — q\~\^q 1

mit dem Absolutglied 1 bezeichnet, gesetzt wird. Umgekehrt, wenn in(27') das Gleichheitszeichen gilt, dann muß wegen 2

~U 'P^ + Y V ) = % i ( qd - e o)r=1 La J

sein. Das trigonometrische Polynom auf der rechten Seite besitzt dannwegen (31) lauter reelle Nullstellen, für welche sämtliche Glieder der aufder linken Seite angeschriebenen Summe, also u.a. auch <p(0) verschwin-den muß. Es ist somit 30 ) <p(0) = (p.Aqd — d o )%(0), wo %(0) die obigeEigenschaft hat. ITJ

29 ) Diese Ungleichung ist in dem Spezialfall = 1 (d- h. für < 1^ n )

a. a. O. 13 ) zu finden. Die allgemeine Gültigkeit von (27') ist mir vor einer Reihevon Jahren durch eine mündliche Mitteilung der Herren J. Egerváry und O. Szászbekannt geworden. Sie gelangten darauf durch die a. a. 0. 13 ) bewiesene Para-meterdarstellung der nichtnegativen trigonometrischen Polynome. Wie ich nun neuer-dings von Herrn O. Szász erfahre, hat er bereits vor längerer Zeit, durch eine Be-merkung von F. Lukács angeregt, einen Beweis von (27') gefunden, der im Prinzipmit dem im Text angegebenen übereinstimmt.

30 ) Wenn das stets nichtnegative trigonometrische Polynom <p (0) für 0 0 O ver-schwindet, so ist

f (0) - (1 — cos (0 — 0 O )) <p* (0),

(Fortsetzung der Fußnote 80 auf nächster Seite.)