626 G. Szegö.

Das sind die einzigen trigonometrischen Polynome der zugelassenenArt, für die in (27') das Gleichheitszeichen eintreten kann.

§7-

Verschärfung des Pickschen Satzes II.

1. Es sei U(x,y,z) ein harmonisches Polynom n-ten Grades; d. h.die Entwicklung (K) von U(x,y,z) nach Kugelfunktionen möge beimn-ten Gliede abbrechen:

U(x, y, z) = K 0 {x, y, z) + K t (x, y,z) + ... + K n (x, y, z).

Es sei

U(x,y,z)^>0 für x*~ + y " + z 2 1,

ferner

K 0 (x, y, z) = £7(0, 0, 0) = ¿ JJ£7(sin0cos<p, sin0sinç?, cos 6)do = 1 .

E

Dann gilt für x' 2 + y 2 + z' 2 <1 1

(32) \K x {x,y,z)\^Z Q n ;

hierbei bezeichnet g n die größte Nullstelle des Legendreschen PolynomsP q + 1 (i), wenn n = 2q gerade ist und die größte Nullstelle von P q + 1 (£)+ P q + 3 (I), wenn n — 2 q + 1 ungerade ist.

Es ist unmittelbar klar, daß diese Behauptung eine Verschärfung desPickschen Satzes II bedeutet.

Es genügt (32) für einen Punkt (l,0 o ,q9 o ) der Einheitskugel zu be-weisen. Betrachten wir eine Drehung der Einheitskugel, welche diesenPunkt in den Nordpol überführt. Das in der Einheitskugel nichtnegativeharmonische Polynom U(x,y,z ) geht dadurch in ein ebensolches überund die Bedingung £7(0,0,0)=1 bleibt auch bestehen. Hieraus folgt,daß man sich auf den Spezialfall 0 O = 0 (Nordpol) beschränken kann. Eshandelt sich dann um die Abschätzung von K 1 ( 0, 0, 1).

Wegen (l') wird durch

2 wT

1 f . n — n

(33) ö— £7(sin0cos q>, sin0sin cp, cos0) dtp =£ f a v P v (cos0) = P(cos0)

wo <p* (0) wieder ein nichtnegatives trigonometrisches Polynom ist. Es genügt, diesetwa für 0 O = 0 zu zeigen. Man hat dann

cp (0) — <p (0) — <p (0 1 ) — <p' (0) sin 0 ;

der letzte Ausdruck setzt sich aus Gliedern von der Form cos kO — 1 und sin k6 — k sin0zusammen, k ganz, die sämtlich durch 1 — cos 0 teilbar sind.