Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 027

ein im Intervall — 1 ^£ ^ 1 nichtnegatives Polynom ii-ten Grades P(£)definiert, das die Bedingung

i

(34) ijp(f)df = l

-1

erfüllt. Es ist ferner wegen (2)

i

K 1 (0, 0,1) = «,=!■ J P{£)£d£.

-1

Bezeichnet also g n das Maximum von

i

(35) 1 2 jp(£)£d£

-1

für die Gesamtheit aller, im Intervalle — 1 ^ 1 nichtnegativen Poly-nome n-ten Grades, die die Bedingung (34) erfüllen, so ist (32) fürxl + V" + z 2 is 1 sicher erfüllt. Durch Betrachtung des harmonischen Poly-noms

2¡a,.r v P r {COS0),

v=0

das für r ^ 1, 0 <¡ ö tt , zugleich mit

P{£) = 2a r P v {£) (- 1<££1)

v=0

nichtnegativ ist, ergibt sich, daß in (32) g n durch keine kleinere Zahl er-setzt werden kann. Damit ist unsere Aufgabe auf die Bestimmung von g nzurückgeführt.

2. Die Größe g n hat bereits Tchebychef berechnet 31 ). Seine etwaskomplizierte Schlußweise möge hier durch die folgende ersetzt werden,welche auf einer von F. Lukács stammenden Darstellung der im Intervalle— 1 1 nichtnegativen Polynome n-ten Grades P(£) beruht 32 ).

Diese lautet:

(30) P(|) = (^(|)) 2 + (l-i)( J B 1 (f)) 2 + (l+l)(ß,ll)) 2

+ (1 -£')(C(£))>.

Hierbei sind A (£ ),..., C(£) Polynome, deren Grade so beschaffen sind,daß kein Glied in P(£) von höherem als n-ten Grade ist. Der Grad von

3l ) Œuvres de P. L. Tchebychef 2 [St.-Pétersbourg 1907], Sur le rapport dedeux intégrales étendues aux mêmes valeurs de la variable. S. 374—402, insb. S. 399.

3a ) Vgl. G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis 2[Berlin, Julius Springer 1925], vgl. Abschnitt VI, Aufgabe 47, S. 82, 276.