628 G ■ Szegö.

A(ë) ist also [|j, der von B x und £ 3 (!) gleich [~^] und der von0(!) gleich [-|j — 1. (Umgekehrt stellt ein derartiger Ausdruck offen-bar ein im Intervall — 1 ^ ^ 1 nichtnegatives Polynom n-ten Gradesdar.) Es genügt also, die Quotienten

f(A(£)ftd£ f(J3(£)f(l ±í)fdf f (C(£)f(

(37) —, ^ —, ^

f(B(£)f(l ±£)d( f(C(£))'( l-f a )á?

-1 »1 "I

für die Gesamtheit aller Polynome -4(1), 5(f), (7(f) bzw. vom Grade

' ¥ J ' [~Í~~ I ' L"|] — a b zu schätzen.

Nun ist bekannt, daß das Maximum von

i

J (t 0 + t 1 Ç+ ...+ im P (?) f d£

(38) —,

f (í 0 + ¿1 ? + • • • -r im £ m ) 2 p(£)d£

-1

wobei p (f ) eine gegebene nichtnegative (nicht überall in [ — 1, 1] ver-schwindende) stetige Funktion bezeichnet, gleich der größten Nullstelledesjenigen Polynoms Q m+1 (f ) vom Grade m + 1 ist, das die Orthogonalitäts-bedingungen

(39) f p (i )Q m+1 (£)rd£ = 0 (v = 0, \ , 2, m)

-1

erfüllt 83 ). Für p(!) = l ist bekanntlich

(40) Q m+1 (!) = konst. P m+1 (f);für p ( ! ) = 1 ± f ist

(41) Q m+ A£) = konst. W|)±|ü±iíÍ) ;

für p(£) = 1 — ! 3 ist

(42) Q m+1 (!) = konst.

1-5

Die Nullstellen dieser Polynome sind sämtlich reell und liegen im Inter-vall — 1 < ! < 1.

Das gesuchte Maximum g n ist somit gleich der größten unter dengrößten (von 1 verschiedenen) Nullstellen der Polynome

l3 ) Dieses Polynom ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt.