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Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 629

Für 71 —2 q handelt es sich um die Polynome

p a+ i(f). w-w«.

während für n — 2q -j- 1 um die folgenden :

^ a+ i(f)» P g+1 (t)±P q+ *W> P t W-P t+ *W-

Es sei nun | m die größte Nullstelle von P m (f); man hat bekanntlich

0 < < i, < ... <i M . <••••< 1 ■

Aus elementaren Eigenschaften dieser Polynome folgt weiter für £ m < £ < 1

ferner

PM)>P m+ i(f).

weil ja P m+1 (l) zwischen und £ m + 1 negativ ist. Es ist also für

£ 3 + i<f< 1

P 3 (f) + P g+1 (f) >0, P g (.S) - P a + 1 (f) > 0,

Bei geradem w, n — 2q, ist folglich

Qn — £q + l-

Bei ungeradem n, n=2q-\-l, ist £ q + l mit der größten Nullstellevon P q + 1 (i) ± P q+ »(S) za vergleichen. Es ist für | a + 1 < | < 1

p q+ i(e)-P i+ Ät)>o,

so daß P q+1 (Ç) — P q + 2 (f) nicht in Frage kommt. Dagegen hat dasPolynom P q + X (I) + P q +2 (i) sicher eine Nullstelle im Intervall | J + 1 < | < 1,weil es doch für £ = f +1 negativ, für £ = 1 positiv ist. Für n = 2 q -j- 1ist somit Q n gleich der größten Nullstelle von P q+1 {£) + P q+2 (£). S4 )3. Die Gültigkeit des Gleichheitszeichens in (32) kann leicht diskutiertwerden. Zunächst erreicht der Ausdruck (35) sein Maximum Q n für eineinziges Polynom P(£) = P(f) der zugelassenen Art. Es ist

a) bei geradem n, n = 2q,

P({)-konBt.(^©) ! ;

b) bei ungeradem n, n= 2q + 1,

P({) - körnt. ( 1 + {) .

wobei die konstanten Faktoren gemäß (34) zu bestimmen sind.

I4 ) Vgl. Tchebychef, a. a. 0. 31 ), § 10.