630 G- Szegö.

Es sei nun U(x, y, z ) ein harmonisches Polynom der oben betrachtetenArt, für das KJO, 0, 1 ) = g n ist. Wegen (33) muß dann

2,-t

—- üYsinöcosip, sin0sin<p, cos0)d7p = P(cos0)

¿71 J

O

sein. Nach dem Obigen besitzt P(f) im Intervall — 1 < £ < 1 genauq= Nullstellen cos 0 ;¡ ^0 < 0 h < n\ h =1 ,2,..., [f-]), deren jede

zweifach ist. Wegen U(x, y, z) 0 für x 2 -)- ?/ 2 + z 2 = 1 muß U(x, y, z)auf den entsprechenden Breitenkreisen 0 = 0 7i identisch in cp verschwinden ;es muß ferner, wie man leicht sieht, für 0 = 0 Ä identisch in cp

-{ C7(sin0cos<p, sin0sin(p, cos0) = 0

sein. Mit der Bezeichnung (l') kann man also behaupten, daß dieAusdrücke

Za m vPm{ COS0), 2b mv Pm( COS0) {v = 1, 2, ..., w.)

m=j' m=v

für 0 = 0 ;¡ samt ihrer ersten Ableitung verschwinden \h = 1,2,..., ! ^ j .Die Polynome

2b mv piï{£)

m—v m=v

müssen somit die zweifachen Nullstellen | = cos6 h (h = 1,2,..., ^jj

besitzen. Da ihr Grad gleich n — v ist, so verschwinden sie identisch,wenn v — 2, 3, ...,n oder wenn v = 1 und n gerade ist; d.h. es giltbei geradem n

C7(sin0cos<p, sin 0 sin cp, cos0) = P(cos0).

Ist v — 1 und n ungerade, so liefert diese Schluß weise, daß

11 _

a m i ~P' m (I) = konst.

m=l

und ähnliches beim zweiten Polynom. Es müßte dann

?7(sin0 cos cp, sin0 sin cp, cos0) = P(cos0) (l + (® cos + b sin 99 )j

sein, a und b Konstanten. Ein derartiger Ausdruck nimmt aber notwendigauch negative Werte an (es sei denn, daß a = b — 0 ist), da doch ^ "p B ^für 0 = ti unendlich wird.

Die Kugelfunktionen P (cos y), wobei y die sphärische Distanz desvariablen Punktes (1,0,9?) von einem beliebigen festen Punkte (l,0 o ,<p o )