Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 631

ist, sind also die Randwerte der einzigen zulässigen harmonischen Poly-nome, für welche in passenden Punkten der Einheitskugel K 1 (x,y,z) = g noder K x (z, y, z) = — K 1 (— z, — y, — z) = — Q n gelten, d. h. in (32) dasGleichheitszeichen eintreten kann. (Es tritt nur in dem Punkte (1, 0 O> <p 0 )und in seinem Gegenpol ein.)

§8.

Übertragung eines Satzes von L. Fejér auf den Raum.

Es sei U(x,y,z) ein harmonisches Polynom n-ten Grades, das inder Einheitskugel nichtnegativ ist und im Mittelpunkte derselben den Wert 1annimmt, £7(0, 0, 0) = 1. Dann ist für x 2 + y" -f z 2 <¡ 1

(43) U (z, y , 2) ^ (J + i)"- ••

Die Konstante auf der rechten Seite dieser Ungleichung ist durchkeine kleinere zu ersetzen.

Man ersieht, wie in § 7, daß es genügt, diese Ungleichung nur fürden Nordpol z = 0, y = 0, z = 1 zu beweisen. Es ist aber P„ r (l) = 0für V > 0, so daß wegen (1 )

[/(0 ,0, l) = Ífl,P,(l) = P(l)

r=()

gilt, wenn P(£) das in § 7 eingeführte Polynom bedeutet. Hieraus folgt,wie dort, daß die kleinste Zahl M n , welche in (43) auf der rechten Seitestehen kann, die Lösung der folgenden Maximumaufgabe ist:

Welches ist das Maximum M n von P( l ) für die Gesamtheit aller imIntervalle — 1 1 nichtnegativen Polynome n-ten Grades, welche der

Bedingung

i

i Jp(f)df = 1

-i

genügen ?

Diese Aufgabe ist von F. Lukács gelöst worden 35 ) mit dem Ergebniswomit unsere Behauptung bewiesen ist.

35 ) F. Lukács, Verschärfung des ersten Mittelwertsatzes der Integralrechnung fürrationale Polynome [Mathematische Zeitschrift 2 (1918), S. 295—305].