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W. Hurewicz.

Den Beweis dafür, daß die Bedingungen von Satz V auch hinreichendseien, stützen wir auf den folgenden

CO

Satz VI. Ist M = 2J A n , ivo die Mengen A n eine Nullfolge von

n=i

•paarweise fremden, in M abgeschlossenen Mengen darstellen, dann gibtes zu jeder der Mengen A n und zu jeder Umgebung U von A n eine Um-gebung V < U von A n , deren Begrenzung zu M fremd ist.

Wir beweisen die Behauptung etwa für die Menge A 1 und für dievorgelegte Umgebung U 0 von A 1 . Es sei {A*} die Teilfolge der Folge {A n },welche aus allen Mengen A n besteht, die mit der Begrenzung B (U 0 )

von U 0 mindestens einen Punkt gemein haben. Wir zeigen zunächst, daß

°° *

die Menge P 0 = Ai in M abgeschlossen ist. Sei zu diesem Zweck p

n=l

ein zu M gehöriger Häufungspunkt von P 0 . Gehört p zu B(U 0 ), danngehört p per definitionem auch zu P 0 . Liegt aber p nicht in B(U 0 ),dann ist der Abstand zwischen p und B(U 0 ) positiv, etwa = r > 0.Sei dann die natürliche Zahl m so gewählt, daß die Durchmesser aller

* • .CO .

Mengen A n , für n^_m, kleiner als r sind. Die Menge A m+1e besitzt den

k=0

Punkt p nicht als Häufungspunkt; also ist p Häufungspunkt der in M

m — L ^

abgeschlossenen Menge £ A n und gehört folglich zu P 0 . Die Menge P 0

11=1

ist also abgeschlossen.

Die Mengen A 1 und P 0 -)- A., sind in M abgeschlossen und zueinanderfremd ; sie liegen daher getrennt. Es gibt daher eine offene Menge U 1mit folgenden Eigenschaften : P 0 -f- A„ < U x , U 1 ■ A 1 = 0. Sei nun P i dieSumme aller Mengen der Folge {A n }, welche zur Begrenzung B (U^ vonZTj nicht fremd sind. P t ist wiederum in M abgeschlossen und zu P 0 -f- A.-,fremd. Wir unterscheiden zwei Fälle :

a) A 3 ist Teilmenge von P 1 . Dann sind die Mengen P x + A s = P 1und P 0 -f A 2 getrennt.

b) A 3 ist nicht Teilmenge von P 1 . Dann ist P 1 -^4 3 = 0 und dieMengen P t und 7 J 0 + A 2 + A s sind getrennt.

In beiden Fällen gibt es eine offene Menge £7 2 mit der BegrenzungB(U„), so daß folgende Bedingungen erfüllt sind:

P i <U i , Z7 a • P 0 = 0, Ü i -A i = 0, B(U 2 )-A s = 0.Angenommen, es seien bereits die Mengen U t , U 2 , ..., U n gemäßfolgenden Bedingungen definiert:

1- P «-i -<U n ,

2. U n P n -i = 0,

3- U n -A n = 0,

4- B(U n )-A n+1 — 0,