■

Normalbereiohe und Dimensionstheorie.

743

wobei B(U n ) die Begrenzung von U n , P n die Summe aller Mengen A n ,die zu B (ü n ) nicht fremd sind, bezeichnet. P n ist in M abgeschlossen.Aus 1. und 4. ergibt sich, daß (P n _ 1 + A n + 1 ) ■ B(U„) = 0, und daßfolglich die Mengen P n und P n _ 1 -\- A n + 1 zueinander fremd sind. Dahersind entweder die Mengen P n + A n+i und P n _ 1 J r A n + l oder die MengenP und P n _! + ^„+i + -4 n +2 getrennt. In beiden Fällen existiert eineoffene Menge U n + 1 , so daß

P„ < U,

n + 1»

U n +i'P n -l

U n +!'A n + 1 — 0, B {U n + 1 )-A n+ 2 — 0.

Das Verfahren läßt sich also ad infinitum fortsetzen. Aus 3. folgt

sodann mit Kiicksicht auf M --

(*)

= 2M„:

n=1

M-ÈU n = 0.

n=1

Aus 1. und 2. ergibt sich, wenn man in 2. n durch n +1 ersetzt,(**) M- B {!]„_,) < P n _, <ü n - U n+1 (» = 1,2,...).

Setzen wir nun:

V=U 0 -Ü 1 + ü 0 -U 1 -(ü,-Ü 3 ) + ... + ü 0 -U 1 ...ü, n _ 1 (U ,n -Ü, n+1 ) + ....

Die Menge F ist offen und es gilt wegen 3. A y < F< U 0 . Wir wollenzeigen, daß die Begrenzung B (F) von F zu M fremd ist. Man sieht zu-nächst leicht, daß folgende Beziehungen bestehen:

(a) U 0 -U 1 ...U 2n -(ü 2n -Ü 2n + 1 )<V

(b) Uo-Ü,... U, n+1 (U, n + 1 - U tn+i )-7= 0(Da die Menge U 0 -TJ 1 ... U 2n+1 — ü" 2n+2 ) offen, folgt aus (b)

(» = 0, 1, 2, ...).

U.

2 « + 2 j

■F= 0.

(b') ü,-U 1 ...ü 2n+1 -{ü, n + 1

Aus (a) und (b') ergibt sich:

(c) U 0 -U t ... U n -B (V)-(U n - Ü n+1 ) = 0 (n = 0, 1, 2, ...).Nach (**) und (c) ist

(d) M-B(V) n EU m -B(Uj<M-B(V)-JIU m -(U n+1 -Ü n+ ,)=0.

oii—O m=0

Aus (c) und (d) folgt:

(e) M-B(V)-ü 0 -U 1 ...ü n = M.B(y)-ü 0 -U 1 ...U n .Ü n+1

= M.B(V)-U 0 -ü 1 ...U n -U n+1 + M.B(V)-U 0 .U 1 ...U n -B(U n+1 )— M-B(V)-U 0 -U 1 ...U n -U n+1 .

Mehrfache Anwendung von (e) ergibt:

M ■ B (F) = M ■ B (F) • U 0 = M-B (F) • U 0 ■ U 1 = ...= M-B(V)-U 0 -U 1 . ..U„ = ...