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W. Hurewicz.

und daraus folgt nach (*):

M-B(V) = 0,womit Satz VI bewiesen ist 7a ).

Aus ihm folgt unmittelbar, daß die Bedingung von Satz V hinreichendist. Sei nämlich M für jedes e > 0 Summe einer Nullfolge von paarweisefremden, in M abgeschlossenen Mengen < s. Ist dann ein Punkt p von

CO

M und ein e > 0 vorgegeben, dann können wir M = 2J A¡ setzen, wobei

n=l

p im A 1 liegt, A 1 < U(p: e ) gilt und die Mengen A n den Voraussetzungenvon Satz VI genügen. Es existiert dann, dem Satz VI zufolge, eine Um-gebung V von p, mit zu M fremder Begrenzung, so daß A 1 < V < U(p; s)gilt. Also ist M nulldimensional. Damit ist Satz V in allen Stückenbewiesen.

Es seien noch zwei Nebenergebnisse erwähnt, welche durch den Beweisvon Satz V mitbewiesen sind : a) Eine zusammenhängende Menge M kannnicht in eine Folge von paarweise fremden in M abgeschlossenen Mengenmit gegen Null konvergierenden Durchmessern gespalten werden 9 ). Diesist eine unmittelbare Folge von Hilfssatz 2.

b) Bilden die Komponenten oder die Quasikomponenten 9 ) einerMenge M eine Nullfolge, dann stimmen die Komponenten und die Quasi-komponenten von M überein. Nehmen wir erstens an, die Komponenten {A n )der Menge M bilden eine Nullfolge. Seien p und q zwei Punkte von M,die zu verschiedenen Komponenten, etwa zu A ± und A m gehören. Da dieA n in M abgeschlossen sind, können wir auf die Folge {A n } den Satz VIanwenden. Es existiert also eine offene Menge V mit zu M fremderBegrenzung, so daß A 1 < V gilt und q nicht in V liegt. Dann liefert dieFormel M — M • V -f- (M — M- F) eine Zerlegung von M in zwei in M ab-geschlossene Mengen, von denen die eine den Punkt p, die andere denPunkt q enthält, p und q gehören also zu verschiedenen Quasikompo-nenten. Folglich stimmen die Komponenten und die Quasikomponentenvon M überein.

Nehmen wir zweitens an, die Quasikomponenten von M bilden eineNullfolge {B n }. Die B n sind in M abgeschlossen. Wären die Kompo-

7a ) (Zusatz bei der Korrektur): Satz VI läßt sich einfacher beweisen, wenn

man folgende leicht beweisbare Tatsache benützt: Sind M l und M., in M abgeschlossene

Mengen und gibt es unter den Mengen A¡ keine, die sowohl mit M 1 als auch mit M.,

Punkte gemein haben, dann existieren zwei offene Mengen und U„ > , so

daß keino Menge A¡ g'eichzeitig mit U t und U« Punkte gemein hat.

8 ) Nach Sierpiñski (Tôkohu Math. J. 13, S. 300) kann man gewisse nichtbe-schränkte Kontinua in abzählbar unendlich viele paarweise fremde Teilkontinuazerlegen.

9 ) Vgl. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 1914, S. 248.