Normalbereiche und Dimensionstheorie.

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neiiten mit den Quasikomponenten von M nicht identisch, so ließe sichmindestens eine der Mengen B n , etwa B 1 in zwei in B 1 und mithin in Mabgeschlossene, zueinander fremde Mengen B[ und Bi zerlegen. Auf dieFolge Bí, B¡ , B„, B :i , ..B u , ... kann man Satz VI anwenden und darauswie oben folgern, daß je zwei Punkte p und q, von denen der eine injBÍ,der andere in liegt, in verschiedenen Quasikomponenten von M liegen,im Widerspruch zur Annahme, B\_ — Bi + sei eine Quasikomponentevon 31.

§2.

Über die Summen nulldimensionaler Mengen.

Bekanntlich ist die Summe zweier nulldimensionaler Mengen (wieschon aus der Zerlegbarkeit der Strecke in die nulldimensionale Mengealler rationalen und die nulldimensionale Menge aller irrationalen Punktehervorgeht) nicht notwendig nulldimensional. Menger 10 ) und Urysohn 11 )haben aber bewiesen, daß die Summe abzählbar vieler nulldimensio-naler kompakter abgeschlossener Mengen und mithin die Summe abzählbarvieler nulldimensionaler halbkompakter F„ 12 ) stets nulldimensional ist.Wir gehen nunmehr daran, einen wesentlich allgemeineren Satz zu beweisen :

Satz VII. In einem separablen Raum ist die Summe abzählbarvieler abgeschlossener nulldimensionaler Mengen nulldimensional.

CO

Sei M = J£M n , wo die Mengen M n abgeschlossen und nulldimen-

n= 1

sional sind. Sei ein Punkt p von M und eine Umgebung U von pbeliebig vorgegeben. Wir haben zu zeigen: Es gibt eine Umgebung Fvon p < U, deren Begrenzung zu M fremd ist.

Da M 1 nulldimensional ist, existiert eine Umgebung F 3 V <U von pmit zu M 1 fremder Begrenzung. Die Mengen V x und M ± — V 1 sindzueinander fremd und abgeschlossen; es existiert daher eine offeneMenge U 1 , so daß M 1 — V 1 <U 1 , U 1 -V 1 = 0 gilt. Die offene MengeU — U 1 enthält V 1 . Nach Satz III gibt es daher eine offeneMenge F„ mit zu M t fremder Begrenzung, so daß V 1 < F„ < U, U 1 -V 2 = 0gilt. Da die Mengen F 2 und 31.-, — F„ zueinander fremd und abgeschlossensind; läßt sich eine offene Menge U„ angeben mit den Eigenschaften:M 2 — F 3 <U 2 , Î7 2 -F 3 = 0. Die Menge U — (U 1 + Z7„) ist eine Umgebungder abgeschlossenen Menge V„. Nach Satz III existiert daher eine offene

10 ) Monatshefte f. Math. u. Phys. 34, S. 147.

") Fund. Math. 8, S. 337.

12 ) Als Fa bezeichnet man die Summe abzählbar vieler abgeschlossener Mengen,als Gd das Produkt abzählbar vieler offener Mengen.

Mathematische Annale«. 9G. 48